Uma bola desce um plano inclinado

1. Admite-se que a bola demora $15$ segundos a descer o plano inclinado.
   Apresenta-se seguidamente uma representação gráfica da função $d$:

   		Note que o modelo considerado não é estritamente crescente em $\mathbb{R}_0^ + $.

2. \[tm{v_{\left[ {0,1} \right]}} = \frac{{d\left( 1 \right) – d\left( 0 \right)}}{{1 – 0}} = \frac{{\left( {1,3 \times {1^2} – 1 + 2} \right) – 2}}{1} = 0,3\]
   No 1.º segundo de movimento, a bola desceu o plano inclinado com velocidade média $0,3$ cm/s.

3. Para ${h > 0}$, vem:
   \[\begin{array}{*{20}{l}}
   {\mathop {tm{v_{\left[ {2,2 + h} \right]}}}\limits_{h > 0} }& = &{\frac{{1,3{{\left( {2 + h} \right)}^2} – \left( {2 + h} \right) + 2 – \left( {1,3 \times {2^2} – 2 + 2} \right)}}{{2 + h – 2}}} \\
   {}& = &{\frac{{1,3 \times {2^2} + 1,3 \times 4h + 1,3{h^2} – 2 – h + 2 – 1,3 \times {2^2}}}{h}} \\
   {}& = &{\frac{{1,3{h^2} + 4,2h}}{h}} \\
   {}& = &{1,3h + 4,2}
   \end{array}\]

   Para ${h < 0}$, vem:
   \[\begin{array}{*{20}{l}}
   {\mathop {tm{v_{\left[ {2 + h,2} \right]}}}\limits_{h < 0} }& = &{\frac{{\left( {1,3 \times {2^2} – 2 + 2} \right) – \left[ {1,3{{\left( {2 + h} \right)}^2} – \left( {2 + h} \right) + 2} \right]}}{{2 – h – 2}}} \\
   {}& = &{\frac{{ – 1,3{h^2} – 4,2h}}{{ – h}}} \\
   {}& = &{1,3h + 4,2}
   \end{array}\]

   Ora, se $h \to {0^ + }$, então $\mathop {tm{v_{\left[ {2,2 + h} \right]}}}\limits_{h > 0}  = 1,3h + 4,2 \to 4,2$ e se $h \to {0^ – }$, então $\mathop {tm{v_{\left[ {2 + h,2} \right]}}}\limits_{h < 0}  = 1,3h + 4,2 \to 4,2$.

   Portanto, a taxa de variação da função $d$, para $t = 2$ é $4,2$.

   Assim, no instante $t = 2$ s a velocidade da bola é $4,2$ cm/s.

   Também se pode obter esse valor na calculadora gráfica, ativando a opção “Derivative”, conforme se ilustra na imagem ao lado.

4. Seja ${t_0} \in {D_d}$ e calculemos $d’\left( {{t_0}} \right)$:
   \[\begin{array}{*{20}{l}}
   {d’\left( {{t_0}} \right)}& = &{\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{d\left( {{t_0} + h} \right) – d\left( {{t_0}} \right)}}{h}} \\
   {}& = &{\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{1,3{{\left( {{t_0} + h} \right)}^2} – \left( {{t_0} + h} \right) + 2 – \left( {1,3 \times {t_0}^2 – {t_0} + 2} \right)}}{h}} \\
   {}& = &{\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{1,3{t_0}^2 + 2,6{t_0} \times h + 1,3{h^2} – {t_0} – h + 2 – 1,3 \times {t_0}^2 + {t_0} – 2}}{h}} \\
   {}& = &{\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{2,6{t_0} \times h + 1,3{h^2} – h}}{h}} \\
   {}& = &{\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left( {2,6{t_0} + 1,3h – 1} \right)} \\
   {}& = &{2,6{t_0} – 1}
   \end{array}\]

   Como
   \[\begin{array}{*{20}{l}}
   {d’\left( {{t_0}} \right) = 30}& \Leftrightarrow &{2,6{t_0} – 1 = 30} \\
   {}& \Leftrightarrow &{{t_0} = \frac{{31}}{{2,6}}} \\
   {}& \Leftrightarrow &{{t_0} = \frac{{155}}{{13}}} \\
   {}&{}&{{t_0} = 11,92}
   \end{array}\]
   então a bola tem uma velocidade de $30$ cm/s no instante $t = 11,9$ s, aproximadamente.

   Também se pode obter um valor aproximado desse instante recorrendo à calculadora gráfica:

5. Como se determinou, na alínea anterior, a expressão de ${d’\left( t \right)}$, pode construir-se o gráfico da velocidade da bola em função do tempo:

   

Na aplicação seguinte, pode fazer a exploração da resolução gráfica do problema: