Uma esfera metálica
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 215 Ex. 51
Uma esfera metálica M move-se sobre uma reta r durante 12 segundos.
A sua posição em relação ao ponto O, em função do tempo, é dada pela equação $$d(t) = {t^3} – 16{t^2} + 50t + 40$$ com $d$ em centímetros.
Uma posição $-1$ significa que a esfera se encontra 1 centímetro à esquerda de O e $+1$ significa que se encontra 1 centímetro à direita de O.
- No instante inicial, em que posição se encontra a esfera? E no instante final?
- Qual foi a distância máxima da esfera a O? Em que instante se verificou?
- Indique os intervalos de tempo em que a esfera se desloca para a esquerda e para a direita.
- Em que instante é zero a velocidade da esfera? E quando é mínima a velocidade?
Como interpreta, no gráfico, estes resultados? - Represente, graficamente, a posição e a velocidade no intervalo considerado.
- Como $d(0) = 40$ e $d(12) = {12^3} – 16 \times {12^2} + 50 \times 12 + 40 = 64$, a esfera encontra-se a 40 centímetros à direita de O, no instante inicial, e a 64 centímetros à direita de O, no instante final.
- Ora, $v(t) = d’(t) = 3{t^2} – 32t + 50$, cujos zeros são:$$\begin{array}{*{20}{l}}
{v(t) = 0}& \Leftrightarrow &{t = \frac{{32 \pm \sqrt {{{32}^2} – 600} }}{6}} \\
{}& \Leftrightarrow &{t = \frac{{32 \pm \sqrt {424} }}{6}} \\
{}& \Leftrightarrow &{t = \frac{{16 – \sqrt {106} }}{3} \vee t = \frac{{16 + \sqrt {106} }}{3}}
\end{array}$$$t$ $0$ ${\frac{{16 – \sqrt {106} }}{3}}$ ${\frac{{16 + \sqrt {106} }}{3}}$ $12$ $d(t)$ $40$ $ \nearrow $ $\frac{{88 + 212\sqrt {106} }}{{27}}$ $ \searrow $ $\frac{{88 – 212\sqrt {106} }}{{27}}$ $ \nearrow $ $64$ $v(t)$ $+$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$ $+$ $${t_1} = \frac{{16 – \sqrt {106} }}{3} \approx 1,9$$
$${t_2} = \frac{{16 + \sqrt {106} }}{3} \approx 8,8$$
$$d({t_1}) = d(\frac{{16 – \sqrt {106} }}{3}) = \frac{{88 + 212\sqrt {106} }}{{27}} \approx 84,1$$
$$d({t_2}) = d(\frac{{16 + \sqrt {106} }}{3}) = \frac{{88 – 212\sqrt {106} }}{{27}} \approx – 77,6$$
A distância máxima da esfera ao ponto O foi de 84 metros, aproximadamente, cerca de 2 segundos após o início do movimento.
- A esfera desloca-se para a direita quando a velocidade é positiva e desloca-se para a esquerda quando a velocidade é negativa.
Logo, a esfera desloca-se para a direita nos intervalos $$\left] {0,\frac{{16 – \sqrt {106} }}{3}} \right[ \approx \left] {0;1,9} \right[$$ e $$\left] {\frac{{16 + \sqrt {106} }}{3},12} \right[ \approx \left] {8,8;12} \right[$$ Desloca-se para a esquerda no intervalo $$\left] {\frac{{16 – \sqrt {106} }}{3},\frac{{16 + \sqrt {106} }}{3}} \right[ \approx \left] {1,9;8,8} \right[$$
- A velocidade é nula para $${t_1} = \frac{{16 – \sqrt {106} }}{3} \approx 1,9$$ e $${t_2} = \frac{{16 + \sqrt {106} }}{3} \approx 8,8$$ em segundos.
Estes instantes correspondem àqueles em o movimento da esfera muda de sentido.Ora, $a(t) = v'(t) = 6t – 32$, cujo zero é: $a(t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{16}}{3}$.
Portanto, a velocidade é mínima para ${t_3} = \frac{{16}}{3} \approx 5,3$, em segundos.
