Uma piza foi confecionada à temperatura de 230º C
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 228 Ex. 91
Uma piza foi confecionada à temperatura de 230º C e retirada do forno às 17 horas para um compartimento que se encontra à temperatura de 20º C.
Admita que, passados 5 minutos, a piza se encontra à temperatura de 150º C.
Sabe-se que a temperatura $A$ (em ºC) de arrefecimento de um corpo varia com o tempo $t$ (em minutos), decorridos após ser retirado da fonte de calor, de acordo com uma lei do tipo $$A(t) = {t_0} + \left( {{A_0} – {t_0}} \right){e^{kt}},\,\,\,t \in \left[ {0, + \infty } \right[$$ em que ${t_0}$ representa a temperatura ambiente, ${{A_0}}$ a temperatura de aquecimento (em ºC) e $k$ é uma constante negativa.
- Mostre que $A(t) = 20 + 210{e^{kt}}$.
- Mostre que $k \approx – 0,096$.
- Quanto tempo decorre entre o instante em que a piza é retirada do forno e o instante em que a sua temperatura é 60º C? Apresente o resultado em minutos e segundos (segundos arredondados às décimas).
- Justifique a afirmação: “A taxa média de variação da função $A$ é negativa em qualquer intervalo do seu domínio.”
$$A(t) = {t_0} + \left( {{A_0} – {t_0}} \right){e^{kt}},\,\,\,t \in \left[ {0, + \infty } \right[$$ em que ${t_0}$ representa a temperatura ambiente, ${{A_0}}$ a temperatura de aquecimento (em ºC) e $k$ é uma constante negativa
- De acordo com os dados, ${t_0} = 20$ e ${A_0} = 230$.
Logo: $$\begin{array}{*{20}{l}}
{A(t)}& = &{20 + \left( {230 – 20} \right){e^{kt}}} \\
{}& = &{20 + 210{e^{kt}}}
\end{array}$$
- Dado que passados 5 minutos, a piza se encontra à temperatura de 150º C, será ${A(5) = 150}$.
Logo: $$\begin{array}{*{20}{l}}
{A(5) = 150}& \Leftrightarrow &{20 + 210{e^{5k}} = 150} \\
{}& \Leftrightarrow &{{e^{5k}} = \frac{{130}}{{210}}} \\
{}& \Leftrightarrow &{5k = \ln \frac{{13}}{{21}}} \\
{}& \Leftrightarrow &{k = \frac{1}{5}\ln \frac{{13}}{{21}}} \\
{}& \Leftrightarrow &{k = \ln \sqrt[5]{{\frac{{13}}{{21}}}}}
\end{array}$$
Portanto, $k = \ln \sqrt[5]{{\frac{{13}}{{21}}}} \approx – 0,096$.
- Considerando $k = – 0,096$, vem $A(t) = 20 + 210{e^{ – 0,096t}}$.
Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
{A(t) = 60}& \Leftrightarrow &{20 + 210{e^{ – 0,096t}} = 60} \\
{}& \Leftrightarrow &{{e^{^{ – 0,096t}}} = \frac{{40}}{{210}}} \\
{}& \Leftrightarrow &{ – 0,096t = \ln \frac{4}{{21}}} \\
{}& \Leftrightarrow &{t = – \frac{1}{{0,096}}\ln \frac{4}{{21}}}
\end{array}$$
Como $t = – \frac{1}{{0,096}}\ln \frac{4}{{21}} \approx 17,273$ e $0,273 \times 60 = 16,38$, decorre 17 minutos e 16 segundos, aproximadamente, entre o instante em que a piza é retirada do forno e o instante em que a sua temperatura é 60º C.
- Como \[A’\left( t \right) = {\left( {20 + 210{e^{ – 0,096t}}} \right)^\prime } = – 0,096 \times 210{e^{ – 0,096t}} = – 20,16{e^{ – 0,096t}}\]
então $A'(t) < 0,\forall t \in \mathbb{R}_0^ + $, isto é, a função $A$ é estritamente decrescente no seu domínio. Consequentemente, a taxa média de variação da função $A$ é negativa em qualquer intervalo do seu domínio, pois $$tm{v_{\left[ {{x_0},{x_0} + h} \right]}} = \frac{{A({x_0} + h) – A({x_0})}}{h} < 0,\forall {x_0} \in \mathbb{R}_0^ + $$ com $h > 0$.
