Numa empresa

Numa empresa, o lucro originado pela produção de $n$ peças é dado, em milhares de contos, por $$L(n) = \ln \left( {100 + n} \right) + k$$ com $k$ constante real.

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1. Sabendo que não havendo produção não há lucro, ter-se-á de verificar $L(0) = 0$.
   Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {L(0) = 0}& \Leftrightarrow &{\ln \left( {100 + 0} \right) + k = 0} \\
   {}& \Leftrightarrow &{k =  – \ln 100}
   \end{array}$$
   Logo, tem-se: $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {L(n)}& = &{\ln \left( {100 + n} \right) – \ln 100} \\
   {}& = &{\ln \frac{{100 + n}}{{100}}} \\
   {}& = &{\ln \left( {1 + 0,01n} \right)}
   \end{array}$$
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2. Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {L(n) > 1}& \Leftrightarrow &{\ln \left( {1 + 0,01n} \right) > 1} \\
   {}& \Leftrightarrow &{\ln \left( {1 + 0,01n} \right) > \ln e} \\
   {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
   {1 + 0,01n > e}&{}&{(*)}
   \end{array}} \\
   {}& \Leftrightarrow &{n > 100\left( {e – 1} \right)}
   \end{array}$$
   ${(*)}$ pois a função $x \to \ln x$ é estritamente crescente.

   Como $100\left( {e – 1} \right) \approx 171,8$, é necessário produzir no mínimo 172 peças para que o lucro seja superior a 1 milhar de contos.
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3. Consideremos a extensão da função considerada a $\mathbb{R}_0^ + $: $f(x) = \ln \left( {1 + 0,01x} \right)$.
   Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {f'(x)}& = &{\left( {\ln \left( {1 + 0,01x} \right)} \right)’} \\
   {}& = &{\frac{{0,01}}{{1 + 0,01x}}}
   \end{array}$$
   e
   \[\begin{array}{*{20}{l}}
   {f”(x)}& = &{{{\left( {\frac{{0,01}}{{1 + 0,01x}}} \right)}^\prime }} \\
   {}& = &{\frac{{ – {{0,01}^2}}}{{{{\left( {1 + 0,01x} \right)}^2}}}}
   \end{array}\]

   Como $f'(x) > 0,\forall x \in \mathbb{R}_0^ + $, então a função $f$ é estritamente crescente.
   Como $f”(x) < 0,\forall x \in \mathbb{R}_0^ + $, então a função $f’$ é estritamente decrescente.

   Idêntica conclusão se retirará relativamente à função $L$. Consequentemente, apesar do lucro ir aumentando, à medida que o número de peças produzidas aumenta, essa variação vai sendo feita de forma cada vez mais lenta, pois a restrição de $f’$ a ${\mathbb{N}_0}$ é decrescente.
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4. Ora,
   $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left[ {n \times L\left( {\frac{1}{n}} \right)} \right]}& = &{\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left[ {n \times \ln \left( {1 + 0,01 \times \frac{1}{n}} \right)} \right]} \\
   {}& = &{\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left[ {n \times \ln \left( {1 + \frac{1}{{100n}}} \right)} \right]} \\
   {}& = &{\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left[ {\ln {{\left( {1 + \frac{1}{{100n}}} \right)}^n}} \right]} \\
   {}& = &{\ln {{\left[ {\underbrace {\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {{\left( {1 + \frac{1}{{100n}}} \right)}^{100n}}}_e} \right]}^{\frac{1}{{100}}}}} \\
   {}& = &{\ln {e^{\frac{1}{{100}}}}} \\
   {}& = &{\frac{1}{{100}}}
   \end{array}$$