Atividade terapêutica de um medicamento
Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 179 Ex. 67
A tabela seguinte refere-se aos dados obtidos nos estudos clínicos realizados para avaliar a atividade terapêutica de um medicamento.
| Fases da experiência | 1.ª | 2.ª | 3.ª | 4.ª | 5.ª | 6.ª |
| N.º de doentes medicados | 120 | 235 | 528 | 822 | 1099 | 2244 |
| N.º de doentes que melhoraram | 52 | 126 | 310 | 490 | 659 | 1346 |
- Com base nos resultados obtidos, os investigadores concluíram que a probabilidade de obter êxito com o referido medicamento é de 60%.
a) Comente a conclusão a que chegaram os investigadores, referindo a lei em que se basearam;
b) Indique a probabilidade de que o medicamento não tenha êxito e demonstre a propriedade que justifica a sua resposta;
c) Calcule a probabilidade do medicamento ter êxito em pelo menos 8 de 10 doentes tratados, escolhidos ao acaso.
- Os medicamentos em ensaio neste laboratório são identificados por códigos que obedecem às regras seguintes:
– têm cinco letras seguidas de dois algarismos;
– começam por vogal;
– não podem ter duas vogais nem duas consoantes seguidas;
– o último algarismo é 0 ou 1.a) Calcule o número máximo de códigos diferentes que obedecem a estas regras (considere 23 letras e 10 algarismos).
b) Escolhendo um código ao acaso, calcule a probabilidade dele não ter letras nem algarismos repetidos.
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Fases da experiência 1.ª 2.ª 3.ª 4.ª 5.ª 6.ª N.º de doentes medicados 120 235 528 822 1099 2244 N.º de doentes que melhoraram 52 126 310 490 659 1346 Percentagem dos doentes que melhoraram 43,33% 53,62% 58,71% 59,61% 59,96% 59,98% a)
O conceito frequencista de probabilidade permitiu os investigadores conclurírem que é de 60% a probabilidade de obter êxito com o referido medicamento.b)
A probabilidade de que o medicamento não tenha êxito é $P(\overline{E})=1-P(E)=1-0,6=0,4$.
Os acontecimentos $E$ e $\overline{E}$ são contrários, ou seja, $E$ e $\overline{E}$ são disjuntos e $E\cup \overline{E}=S$. Logo, $$\begin{array}{*{35}{l}}
P(E\cup \overline{E})=P(S) & \Leftrightarrow & P(E\cup \overline{E})=1 \\
{} & \Leftrightarrow & P(E)+P(\overline{E})=1 \\
{} & \Leftrightarrow & P(\overline{E})=1-P(E) \\
\end{array}$$
c)
A variável aleatória $X$: “Número de doentes tratados com êxito, num grupo de 10 doentes” tem distribuição binomial de parâmetros $n=10$ e $p=\frac{3}{5}=0,6$.
Assim, a probabilidade pedida é $$\begin{array}{*{35}{l}}
P(8\le X\le 10) & = & {}^{10}{{C}_{8}}\times {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{8}}\times {{\left( \frac{2}{5} \right)}^{2}}+{}^{10}{{C}_{9}}\times {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{9}}\times {{\left( \frac{2}{5} \right)}^{1}}+{}^{10}{{C}_{10}}\times {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{10}}\times {{\left( \frac{2}{5} \right)}^{0}} \\
{} & = & 45\times {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{8}}\times {{\left( \frac{2}{5} \right)}^{2}}+10\times {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{9}}\times {{\left( \frac{2}{5} \right)}^{1}}+1\times {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{10}} \\
{} & = & \frac{1633689}{9765625} \\
{} & \approx & 0,167 \\
\end{array}$$ - a)
Conjugando as restições, obtemos:Código vogal consoante vogal consoante vogal algarismo 0 ou 1 Portanto, o número máximo de códigos diferentes que obedecem a essas regras é $N=5\times 18\times 5\times 18\times 5\times 10\times 2=810000$.
b)
O número de casos favoráveis é $NCF=5\times 18\times 4\times 17\times 3\times 9\times 2=330480$.
Logo, a probabilidade pedida é $$p=\frac{330480}{810000}=\frac{51}{125}=0,408$$
