Uma superfície esférica
Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 68
Considere, num referencial ortonormado Oxyz, a superfície esférica de equação ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=25$.
Considere todos os triângulos cujos vértices são pontos de interseção desta superfície esférica com os eixos do referencial.
Escolhendo um desses triângulos ao acaso, determine a probabilidade de estar contido no plano definido por $z=0$.
Indique o resultado em percentagem.
Os eixos coordenados intersetam a superfície esférica em seis pontos: $A(5,0,0)$, $B(0,5,0)$, $C(-5,0,0)$, $D(0,-5,0)$, $E(0,0,-5)$ e $F(0,0,5)$.
O número de triângulos distintos que se podem obter considerando três desses seis pontos como vértices é $NCP={}^{6}{{C}_{3}}=20$.
Apenas $NCF={}^{4}{{C}_{3}}=4$ desses triângulos estão contidos no plano definido por $z=0$: os que possuem vértices pertencentes ao conjunto $\left\{ A,B,C,D \right\}$.
Logo, a probabilidade pedida é $p=\frac{{}^{4}{{C}_{3}}}{{}^{6}{{C}_{3}}}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$, ou seja, 20%.
