Um teste de escolha múltipla

 Cada questão permite três respostas, logo o número de casos possíveis é $NCP=3\times 3\times 3\times 3\times 3={}^{3}A{{‘}_{5}}={{3}^{5}}=243$.

1. O número de casos favoráveis é $NCF=2\times 2\times 2\times 2\times 2={}^{2}A{{‘}_{5}}={{2}^{5}}=32$.
   Logo, a probabilidade pedida é $p=\frac{32}{243}$.
2. O número de casos favoráveis é $NCF={}^{3}A{{‘}_{5}}-{}^{2}A{{‘}_{5}}=243-32=211$.
   (O acontecimento é contrário do da alínea anterior).
   Logo, a probabilidade pedida é $p=\frac{211}{243}$.
3. O número de casos favoráveis é $NCF=1\times 1\times 1\times 1\times 1={}^{1}A{{‘}_{5}}={{1}^{5}}=1$.
   Logo, a probabilidade pedida é $p=\frac{1}{243}$.
4. O número de casos favoráveis é $NCF=243-{}^{5}{{C}_{4}}\times 2\times 1\times 1\times 1\times 1-{}^{5}{{C}_{5}}\times 1\times 1\times 1\times 1\times 1-=243-10-1=232$.
   Logo, a probabilidade pedida é $p=\frac{232}{243}$.

Alternativa:

Consideremos a variável aleatória $X$: “número de respostas certas às cinco questões“.

A variável aleatória tem distribuição binomial de parâmetros $n=5$ e $p=\frac{1}{3}$.

Assim, temos:

1. $$P(X=0)={}^{5}{{C}_{0}}\times {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{0}}\times {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{5}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{5}}=\frac{32}{243}$$
2. $$p=1-P(X=0)=1-{}^{5}{{C}_{0}}\times {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{0}}\times {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{5}}=\frac{211}{243}$$
3. $$P(X=5)={}^{5}{{C}_{5}}\times {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{5}}\times {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{0}}={{\left( \frac{1}{3} \right)}^{5}}=\frac{1}{243}$$
4. $$P(X\le 3)=1-P(4\le X\le 5)=1-{}^{5}{{C}_{4}}\times {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{4}}\times {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{1}}-{}^{5}{{C}_{5}}\times {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{5}}\times {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{0}}=1-\frac{10}{243}-\frac{1}{243}=\frac{232}{243}$$