Latas de Coca-Cola e Ice Tea
Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 178 Ex. 62
A professora de Matemática do 12.º X propôs o seguinte problema à turma:
“Uma grade tem doze compartimentos para colocar latas de refrigerantes. De quantas formas diferentes podemos arrumar sete latas na grade, sabendo que quatro delas são de Coca-Cola (e, portanto, indistinguíveis) e as restantes são de Ice Tea (uma de limão, uma de pêssego e outra de manga).”
A Maria e o Pedro foram os primeiros a responder com segurança. Os resultados que apresentaram estão ambos certos e foram os seguintes:
- Maria: ${}^{12}{{C}_{7}}\times {}^{7}{{A}_{3}}$
- Pedro: ${}^{12}{{C}_{4}}\times {}^{8}{{A}_{3}}$
Numa composição de dez a quinze linhas, explique o raciocínio de cada um dos alunos.
- Coca-Cola: 4 latas indistinguíveis;
- Ice Tea: 3 latas distinguíveis (limão, pêssego e manga).
Maria:
As sete latas de refrigerante vão ocupar sete dos doze compartimentos da grade.
Estes compartimentos podem ser selecionados de ${}^{12}{{C}_{7}}$ modos diferentes.
Apresenta-se, seguidamente, uma dessas possíveis seleções:
| s1 | s2 | ||
| s3 | s4 | ||
| s5 | s6 | s7 |
Para esta seleção dos compartimentos da grade, comecemos por pensar na colocação das latas de Ice Tea por ordem de sabor, por exemplo, limão, pêssego e manga. Dois resultados possíveis serão, por exemplo, $\left( {{s}_{4}},{{s}_{7}},{{s}_{1}} \right)$ e $\left( {{s}_{7}},{{s}_{4}},{{s}_{1}} \right)$. Para cada uma destas situações, as quatro latas de Coca-Cola, porque são indistinguíveis, ocuparão os restantes quatro compartimentos livres, previamente selecionados.
Portanto, para a seleção dos 7 compartimentos exemplificada, as 3 latas de Ice Tea (e as 4 de Coca-Cola, nos restantes 4 compartimentos que restarem livres) podem ser dispostas de $7\times 6\times 5={}^{7}{{A}_{3}}$ maneiras diferentes.
Logo, considerando os ${}^{12}{{C}_{7}}$ modos diferentes de selecionar os sete compartimentos que as sete latas vão ocupar, resulta que as latas podem ser arrumadas de ${}^{12}{{C}_{7}}\times {}^{7}{{A}_{3}}$ maneiras diferentes.
Pedro:
Comecemos por colocar as quatro latas de Coca-Cola.
Como estas latas são indistinguíveis, selecionados quatro dos doze compartimentos, existe apenas uma maneira de as arrumar na grade.
Sendo assim, existem apenas ${}^{12}{{C}_{4}}$ maneiras diferentes de arrumar as latas de Coca-Cola. Consideremos uma dessas maneiras, por exemplo:
| c | |||
| c | c | ||
| c |
Pensemos agora na colocação das latas de Ice Tea por ordem de sabor, por exemplo, limão, pêssego e manga. Temos vagos 8 dos doze compartimentos da grade, pelo que essas três latas podem ser dispostas de $8\times 7\times 6={}^{8}{{A}_{3}}$ maneiras diferentes.
Logo, considerando os ${}^{12}{{C}_{4}}$ modos diferentes colocar as quatro latas de Coca-Cola, resulta que as latas podem ser arrumadas de ${}^{12}{{C}_{4}}\times {}^{8}{{A}_{3}}$ maneiras diferentes.
