Numerar as faces de um poliedro

Logo, podemos numerar as outras seis faces, com os restantes seis números, de $N={}^{6}{{A}_{6}}={{P}_{6}}=6!=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720$ maneiras diferentes.

Faltam numerar 4 das cinco faces acessíveis do cubo, pois uma delas já está numerada com o número 2.

Para que a soma dos números dessas faces dê ímpar, é necessário que seja ímpar o número de números ímpares a inscrever nessas faces. Há, por isso, duas alternativas:

A: Um número ímpar: que pode ser escolhido de ${}^{3}{{C}_{1}}=3$ maneiras diferentes;

B: Três números ímpares: que podem ser escolhidos de ${}^{3}{{C}_{3}}=1$ maneira diferente.

Relativamente à primeira alternativa, cada uma das possibilidades de escolher apenas um dos três números ímpares é acompanhada pelos restantes 3 números pares, para serem inscritos nas quatro faces disponíveis do cubo, sobrando dois números ímpares para inscrever nas faces disponíveis da pirâmide.
Esta alternativa, configura ${{N}_{A}}=({}^{3}{{C}_{1}}\times {}^{3}{{C}_{3}}\times {{P}_{4}})\times {{P}_{2}}=3\times 1\times 24\times 2=144$ modos diferentes de inscrever os restantes seis números nas faces do poliedro.

Relativamente à segunda alternativa, a única possibilidade de escolher três dos três números ímpares é acompanhada por 1 dos restantes 3 números pares, que podem ser escolhidos de três modos diferentes, para serem inscritos nas quatro faces disponíveis do cubo, sobrando dois números pares para inscrever nas faces disponíveis da pirâmide.
Esta alternativa, configura ${{N}_{B}}=({}^{3}{{C}_{3}}\times {}^{3}{{C}_{1}}\times {{P}_{4}})\times {{P}_{2}}=1\times 3\times 24\times 2=144$ modos diferentes de inscrever os restantes seis números nas faces do poliedro.

Portanto, o valor procurado é $N={{N}_{A}}+{{N}_{B}}=288$.