Grupos sanguíneos
Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 179 Ex. 66
Os seres humanos estão repartidos, segundo a composição do seu sangue, em quatros grupos: O, A, B e AB.
Num conjunto de 10 dadores de sangue, quatro pertencem ao grupo O, três ao grupo A, dois ao grupo B e um ao grupo AB.
Escolhidas, ao acaso, quatro pessoas desse conjunto:
- qual é a probabilidade das quatro pertencerem ao mesmo grupo sanguíneo?
- qual é a probabilidade de pelo menos três delas pertencerem ao mesmo grupo sanguíneo?
- sabendo que três, e só três, pertencem ao mesmo grupo sanguíneo, qual é a probabilidade desse grupo ser o grupo O?
| Grupo sanguíneo | O | A | B | AB | Total |
| Dadores de sangue | 4 | 3 | 2 | 1 | 10 |
- Para que os quatro dadores pertençam ao mesmo grupo sanguíneo têm de ser do grupo O.
Assim, a probabilidade pedida é $$p=\frac{{}^{4}{{C}_{4}}}{{}^{10}{{C}_{4}}}=\frac{1}{210}$$ - Como vimos, o máximo de dadores do mesmo grupo sanguíneo é quatro, pertencendo ao grupo O.
Quanto a três dadores do mesmo grupo, tanto podem ser do grupo O, como do grupo A.
Assim, a probabilidade pedida é $$p=\frac{\overbrace{{}^{4}{{C}_{4}}}^{O}+\overbrace{{}^{4}{{C}_{3}}}^{O}\times \overbrace{{}^{6}{{C}_{1}}}^{\overline{O}}+\overbrace{{}^{3}{{C}_{3}}}^{A}\times \overbrace{{}^{7}{{C}_{1}}}^{\overline{A}}}{{}^{10}{{C}_{4}}}=\frac{1+4\times 6+1\times 7}{210}=\frac{32}{210}=\frac{16}{105}$$ - Se três, e só três, pertencem ao mesmo grupo sanguíneo, então:
Caso 1: Essas três pessoas são do grupo O e a quarta é do A, B ou AB;
Caso 2: Essas três pessoas são do grupo A e a quarta é do grupo O, B ou AB.
Assim, o número de casos possíveis é $NCP={}^{4}{{C}_{3}}\times {}^{6}{{C}_{1}}+{}^{3}{{C}_{3}}\times {}^{7}{{C}_{1}}=4\times 6+1\times 7=31$ e o número de casos favoráveis é $NCF={}^{4}{{C}_{3}}\times {}^{6}{{C}_{1}}=24$.
Portanto, a probabilidade pedida é $$p=\frac{{}^{4}{{C}_{3}}\times {}^{6}{{C}_{1}}}{{}^{4}{{C}_{3}}\times {}^{6}{{C}_{1}}+{}^{3}{{C}_{3}}\times {}^{7}{{C}_{1}}}=\frac{24}{31}$$
