Daily Archive: Dezembro 19, 2010

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Na figura ao lado estão representados:

• uma circunferência de centro O e raio 1 unidade de comprimento;
• um diâmetro [AB] e uma corda [CD], perpendicular a esse diâmetro.

Designando por $\alpha $ a amplitude do ângulo AOC, em radianos:

1. determine o valor de $\overrightarrow{AB}\,.\,\overrightarrow{CD}$;
2. mostre que a área do triângulo [BCD] em função de $\alpha $ é $A(\alpha )=sen\,\alpha \times (1+\cos \alpha )$;
3. determine o valor da área do triângulo quando $\overline{OM}$ é igual a $\overline{MC}$.

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Na figura estão representados três pontos, num referencial o.n. Oxyz.

Sabe-se que:

• ponto A tem coordenadas $(0,5,2)$;
• ponto B pertence ao plano xOz;
• ponto C pertence ao plano xOy;
• $(x,y,z)=(5,4,-1)+k(1,2,-1)\,,\,\,k\in \mathbb{R}$ é uma equação vetorial da reta BC.

1. Mostre que o ponto B tem coordenadas $(3,0,1)$ e que o ponto C tem coordenadas $(4,2,0)$.
2. Mostre que o triângulo [ABC] é retângulo em C.
3. Considere a superfície esférica de centro A, cuja intersecção com o plano xOy é

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Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um prisma triangular regular:

Sabe-se que:

• o vértice O coincide com a origem do referencial;
• o vértice P pertence ao semieixo positivo Ox;
• o vértice R pertence ao semieixo positivo Oy;
• o segmento [QR] tem comprimento 6.

1. Indique, justificando, o valor do produto escalar $\overrightarrow{TS}\,.\,\overrightarrow{TR}$.
2. Determine uma equação vetorial da reta de intersecção do plano PQS com o plano de equação $x+y+z=5$.
3. Sabendo que a área lateral do prisma

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Comente a afirmação:

“Num referencial o.n. Oxyz, a condição $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
4x+5y+2z=2  \\
\frac{x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z}{2}  \\
\end{array} \right.$ define um ponto.”

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