Um prisma triangular regular
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 188 Ex. 58
Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um prisma triangular regular:
Sabe-se que:
- o vértice O coincide com a origem do referencial;
- o vértice P pertence ao semieixo positivo Ox;
- o vértice R pertence ao semieixo positivo Oy;
- o segmento [QR] tem comprimento 6.
- Indique, justificando, o valor do produto escalar $\overrightarrow{TS}\,.\,\overrightarrow{TR}$.
- Determine uma equação vetorial da reta de intersecção do plano PQS com o plano de equação $x+y+z=5$.
- Sabendo que a área lateral do prisma é 72, determine as coordenadas do ponto S.
O produto escalar $\overrightarrow{TS}\,.\,\overrightarrow{TR}$ é nulo, pois os vetores são perpendiculares, visto o prisma ser regular (as arestas laterais são perpendiculares às arestas da base).
- O plano PQS pode ser definido pela condição $x=6$.
Ora, $\begin{array}{*{35}{l}}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x+y+z=5 \\
x=6 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
y+z=-1 \\
x=6 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{1} \\
x=6 \\
\end{array} \right. \\
\end{array}$Portanto, um ponto dessa reta é, por exemplo, o ponto de coordenadas $(6,0,-1)$; um vetor diretor da reta é, por exemplo, $\vec{r}=(0,-1,1)$ .
Logo, $(x,y,z)=(6,0,-1)+k(0,-1,1)\,,\,\,k\in \mathbb{R}$ é uma equação vetorial da reta pedida.
- Como o prisma é regular, a área lateral será dada por ${{A}_{L}}=3\times \overline{QR}\times \overline{PQ}$.
Assim, $72=3\times 6\times \overline{PQ}\Leftrightarrow \overline{PQ}=4$.
Logo, $Q\,(6,4,0)$ e $S\,(6,2,{{z}_{S}})$, com ${{z}_{S}}>0$.
Ora, \[tg\,(S\hat{P}Q)=\frac{{{z}_{S}}}{\frac{\overline{PQ}}{2}}\]
Logo, $tg\,60{}^\text{o}=\frac{{{z}_{S}}}{2}\Leftrightarrow {{z}_{S}}=2\sqrt{3}$ e, portanto, $S\,(6,2,2\sqrt{3})$.
