Uma circunferência
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 188 Ex. 60
Enunciado
Na figura ao lado estão representados:
- uma circunferência de centro O e raio 1 unidade de comprimento;
- um diâmetro [AB] e uma corda [CD], perpendicular a esse diâmetro.
Designando por $\alpha $ a amplitude do ângulo AOC, em radianos:
- determine o valor de $\overrightarrow{AB}\,.\,\overrightarrow{CD}$;
- mostre que a área do triângulo [BCD] em função de $\alpha $ é $A(\alpha )=sen\,\alpha \times (1+\cos \alpha )$;
- determine o valor da área do triângulo quando $\overline{OM}$ é igual a $\overline{MC}$.
Resolução
Como $AB\bot CD$, os vetores são perpendiculares e, por isso, $\overrightarrow{AB}\,.\,\overrightarrow{CD}=0$.
- Como $\cos \alpha =\frac{\overline{MO}}{\overline{OC}}$ e $sen\,\alpha =\frac{\overline{MC}}{\overline{OC}}$, temos: $\overline{MO}=\cos \alpha $ e $\overline{MC}=sen\,\alpha $, pois $\overline{OC}=1$.
Assim, temos: \[\begin{array}{*{35}{l}}
A(\alpha ) & = & \frac{\overline{CD}\times \overline{MB}}{2} \\
{} & = & \frac{2\times sen\,\alpha \times (\cos \alpha +1)}{2} \\
{} & = & sen\,\alpha \times (\cos \alpha +1) \\
\end{array}\]
- Quando $\overline{OM}$ é igual a $\overline{MC}$, o triângulo retângulo [OMC] é isósceles. Logo, $\alpha =\frac{\pi }{4}$ radianos.
Assim, vem: \[A(\frac{\pi }{4})=sen\,\frac{\pi }{4}\times (\cos \frac{\pi }{4}+1)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+1)=\frac{1+\sqrt{2}}{2}\]
