Um paralelepípedo de altura variável

by AMMA · Published 19 de Dezembro de 2010 · Updated 21 de Janeiro de 2022

Enunciado

A figura representa um paralelepípedo de altura variável, sendo:

$\overline{AB}=4\,cm$
$\overline{BC}=3\,cm$
$\overrightarrow{AF}\overset{\hat{\ }}{\mathop{{}}}\,\overrightarrow{AC}=\alpha $

Mostre que o volume do paralelepípedo é dado por $V(\alpha )=60\,tg\,\alpha $.
Determine o valor exato do volume do sólido quando $\cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )$ é igual a $-\frac{2}{3}$.
Calcule o valor do produto escalar $\overrightarrow{AF}\,.\,\overrightarrow{BC}$.
Se, no referencial o.n. representado, G for o ponto $(0,0,8)$, quais são as coordenadas dos pontos médios das arestas laterais do paralelepípedo?

Resolução

Ora, $tg\,\alpha =\frac{\overline{FC}}{\overline{AC}}$.
Como $\overline{AC}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}=5$, então $\overline{FC}=5\times tg\,\alpha $.

Assim, $V(\alpha )=4\times 3\times 5\times tg\,\alpha =60\,tg\,\alpha $.
Ora,
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\cos (\frac{\pi }{2} + \alpha ) = – \frac{2}{3}}& \Leftrightarrow &{\cos (\frac{\pi }{2} – ( – \alpha )) = – \frac{2}{3}}\\{}& \Leftrightarrow &{sen{\mkern 1mu} ( – \alpha ) = – \frac{2}{3}}\\{}& \Leftrightarrow &{sen{\mkern 1mu} \alpha = \frac{2}{3}}\end{array}\]

Como $\alpha \in \left] 0,\frac{\pi }{2} \right[$, então \[\cos \alpha =+\sqrt{1-{{(\frac{2}{3})}^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{3}\] e \[tg\,\alpha =\frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\]

Logo, $V=60\times \frac{2\sqrt{5}}{5}=24\sqrt{5}$ unidades de volume.
Como $A\,(3,0,0)$, $B\,(3,4,0)$, $C\,(0,4,0)$ e $F\,(0,4,5\,tg\,\alpha )$, então $\overrightarrow{AF}=(-3,4,5\,tg\,\alpha )$ e $\overrightarrow{BC}=(-3,0,0)$.

Logo, $\overrightarrow{AF}\,.\,\overrightarrow{BC}=-3\times (-3)+0+0=9$.
Se, no referencial o.n. representado, G for o ponto $(0,0,8)$, as coordenadas dos pontos médios das arestas laterais do paralelepípedo são: $(3,0,4)$, $(3,4,4)$, $(0,4,4)$ e $(0,0,4)$.