Dados dois pontos, A e B

1. Como $A\,(2,-3,1)$ e $B\,(3,2,6)$, então o vetor $\overrightarrow{AB}=(1,5,5)$ é director da reta AB, podendo esta ser definida por \[\frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{5}=\frac{z-1}{5}\]
   Como o plano xOy pode ser definido pela condição $z=0$, temos: \[\begin{array}{*{35}{l}}
   \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
   \frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{5}=\frac{z-1}{5}  \\
   z=0  \\
   \end{array} \right. & \Leftrightarrow  & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
   \frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{5}=-\frac{1}{5}  \\
   z=0  \\
   \end{array} \right. & \Leftrightarrow  & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
   x=\frac{9}{5}  \\
   y=-4  \\
   z=0  \\
   \end{array} \right.  \\
   \end{array}\]
   Logo, o ponto de intersecção da reta AB com o plano xOy tem coordenadas $(\frac{9}{5},-4,0)$.
   ­
2. O lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e de B é o plano mediador de [AB].

O ponto médio do segmento [AB] é $M(\frac{2+3}{2},\frac{-3+2}{2},\frac{1+6}{2})=(\frac{5}{2},-\frac{1}{2},\frac{7}{2})$.

Como o plano mediador do segmento [AB] é o lugar geométrico dos pontos $P\,(x,y,z)$ tais que $\overrightarrow{AB}\,.\,\overrightarrow{MP}=0$, temos: \[\begin{array}{*{35}{l}}
\overrightarrow{AB}\,.\,\overrightarrow{MP}=0 & \Leftrightarrow  & (1,5,5).(x-\frac{5}{2},y+\frac{1}{2},z-\frac{7}{2})=0  \\
{} & \Leftrightarrow  & x-\frac{5}{2}+5y+\frac{5}{2}+5z-\frac{35}{2}=0  \\
{} & \Leftrightarrow  & x+5y+5z-\frac{35}{2}=0  \\
\end{array}\]
Portanto, esse lugar geométrico pode ser definido por $x+5y+5z-\frac{35}{2}=0$.