Dados dois pontos, A e B
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 189 Ex. 61
Num referencial o.n. tridimensional, estão representados o ponto $A\,(2,-3,1)$ e o ponto $B\,(3,2,6)$.
- Determine a intersecção da recta AB com o plano xOy.
- Determine o lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e de B.
- Como $A\,(2,-3,1)$ e $B\,(3,2,6)$, então o vector $\overrightarrow{AB}=(1,5,5)$ é director da recta AB, podendo esta ser definida por \[\frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{5}=\frac{z-1}{5}\]
Como o plano xOy pode ser definido pela condição $z=0$, temos: \[\begin{array}{*{35}{l}}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{5}=\frac{z-1}{5} \\
z=0 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{5}=-\frac{1}{5} \\
z=0 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=\frac{9}{5} \\
y=-4 \\
z=0 \\
\end{array} \right. \\
\end{array}\]
Logo, o ponto de intersecção da recta AB com o plano xOy tem coordenadas $(\frac{9}{5},-4,0)$.
-
O lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e de B é o plano mediador de [AB].
O ponto médio do segmento [AB] é $M(\frac{2+3}{2},\frac{-3+2}{2},\frac{1+6}{2})=(\frac{5}{2},-\frac{1}{2},\frac{7}{2})$.
Como o plano mediador do segmento [AB] é o lugar geométrico dos pontos $P\,(x,y,z)$ tais que $\overrightarrow{AB}\,.\,\overrightarrow{MP}=0$, temos: \[\begin{array}{*{35}{l}}
\overrightarrow{AB}\,.\,\overrightarrow{MP}=0 & \Leftrightarrow & (1,5,5).(x-\frac{5}{2},y+\frac{1}{2},z-\frac{7}{2})=0 \\
{} & \Leftrightarrow & x-\frac{5}{2}+5y+\frac{5}{2}+5z-\frac{35}{2}=0 \\
{} & \Leftrightarrow & x+5y+5z-\frac{35}{2}=0 \\
\end{array}\]
Portanto, esse lugar geométrico pode ser definido por $x+5y+5z-\frac{35}{2}=0$.
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