Na figura estão representados três pontos
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 188 Ex. 59
Na figura estão representados três pontos, num referencial o.n. Oxyz.
Sabe-se que:
- ponto A tem coordenadas $(0,5,2)$;
- ponto B pertence ao plano xOz;
- ponto C pertence ao plano xOy;
- $(x,y,z)=(5,4,-1)+k(1,2,-1)\,,\,\,k\in \mathbb{R}$ é uma equação vetorial da reta BC.
- Mostre que o ponto B tem coordenadas $(3,0,1)$ e que o ponto C tem coordenadas $(4,2,0)$.
- Mostre que o triângulo [ABC] é retângulo em C.
- Considere a superfície esférica de centro A, cuja intersecção com o plano xOy é uma circunferência de raio 3.
Escreva uma equação dessa superfície esférica. - De um plano $\alpha $ sabe-se que passa em A e é perpendicular a BC.
Determine uma equação de $\alpha $.
- O ponto B pertence à reta BC e ao plano xOz ($y=0$), logo as suas coordenadas têm de verificar ambas as condições.
O único ponto da reta BC com ordenada nula obtém-se para $0=4+2k\Leftrightarrow k=-2$.
Logo, $B\,(5-2\times 1,0,-1-2\times (-1))=(3,0,1)$.
O ponto C pertence à recta BC e ao plano xOy ($z=0$), logo as suas coordenadas têm de verificar ambas as condições.
O único ponto da reta BC com cota nula obtém-se para $0=-1-k\Leftrightarrow k=-1$.
Logo, $C\,(5-1\times (-1),4-1\times 2,0)=(4,2,0)$.
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Como $A\,(0,5,2)$, $B\,(3,0,1)$ e $C\,(4,2,0)$, então $\overrightarrow{CA}=(-4,3,2)$ e $\overrightarrow{CB}=(-1,-2,1)$.
Ora, $\overrightarrow{CA}\,.\,\overrightarrow{CB}=-4\times (-1)+3\times (-2)+2\times 1=4-6+2=0$.
Logo, os vetores são perpendiculares.
Consequentemente, o retângulo [ABC] é retângulo em C.
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Na figura ao lado está representada a circunferência da intersecção da superfície esférica com o plano xOy. O raio da superfície esférica é $r=\overline{AD}=\sqrt{{{\overline{AA’}}^{2}}+{{\overline{A’D}}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{13}$.
Logo, ${{x}^{2}}+{{(y-5)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=13$ é uma equação da superfície esférica considerada.
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O vetor $\vec{r}=(1,2,-1)$ , diretor da reta BC, é normal ao plano $\alpha $.
Assim, a equação do plano $\alpha $ é da forma $x+2y-z+d=0$.
Como A é um ponto desse plano, então as suas coordenadas têm de verificar a equação anterior: $0+2\times 5-2+d=0\Leftrightarrow d=-8$.
Logo, $x+2y-z-8=0$ é uma equação do plano $\alpha $.