Partes dos gráficos de duas funções e um trapézio retângulo

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 123 Ex. 10

by AMMA · Published 24 de Abril de 2018 · Updated 10 de Janeiro de 2022

Enunciado

Na figura, estão representadas, num referencial cartesiano de origem O, partes dos gráficos de duas funções, f e g, bem como o trapézio retângulo [ABCD].
Sabe-se que:

os pontos A e D pertencem ao eixo das ordenadas;
a função f é definida por \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}x\);
a função g é definida por \(g\left( x \right) = 2{x^2}\);
o ponto B pertence ao gráfico da função g e tem abcissa 2;
o ponto C pertence ao gráfico da função f e tem abcissa 4.

Identifica, usando letras da figura, dois pontos com a mesma ordenada.
Determina a área do trapézio [ABCD].
Mostra como chegaste à tua resposta.

Resolução

Na figura, estão representadas, num referencial cartesiano de origem O, partes dos gráficos de duas funções, f e g, bem como o trapézio retângulo [ABCD].
Sabe-se que:

os pontos A e D pertencem ao eixo das ordenadas;
a função f é definida por \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}x\);
a função g é definida por \(g\left( x \right) = 2{x^2}\);
o ponto B pertence ao gráfico da função g e tem abcissa 2;
o ponto C pertence ao gráfico da função f e tem abcissa 4.

Dois pontos com a mesma ordenada são, por exemplo, os pontos A e B.
Comecemos por determinar a altura do trapézio:\[\overline {AD} = g\left( 2 \right) – f\left( 4 \right) = 2 \times {2^2} – \frac{1}{2} \times 4 = 8 – 2 = 6\]Logo, tem-se para a área do trapézio:\[{A_{\left[ {ABCD} \right]}} = \frac{{\overline {CD} + \overline {AB} }}{2} \times \overline {AD} = \frac{{4 + 2}}{2} \times 6 = 18\]