A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Tagged: extremos relativos

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11.º Ano / Aplicando / Funções com radicais

A distância entre os automóveis

Funções com radicais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 177 Ex. 11

Enunciado

Dois automóveis circulam à mesma velocidade, em estradas perpendiculares, em direção a um cruzamento.
Um deles encontra-se a $5$ km do cruzamento e o outro a $6$ km.

Representa graficamente a função que dá a distância entre os dois automóveis à medida que se aproximam do cruzamento.…

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11.º Ano / Aplicando / Funções com radicais

Um triângulo inscrito numa semicircunferência

Funções com radicais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 174 Ex. 16

Enunciado

Considere o triângulo da figura inscrito numa semicircunferência de centro C.

  1. Justifique que o triângulo é retângulo.
     
  2. Exprima a área do triângulo em função do raio e do cateto de comprimento $x$.
     
  3. Qual deve ser o raio da circunferência para que o triângulo tenha área $10$ e
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11.º Ano / Aplicando / Derivadas

Mostre que a função não admite extremo em $x = 0$

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 82 Ex. 19

Enunciado

Mostre que a derivada da função definida por \[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right)}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  x& \Leftarrow &{x > 0} \\
  {{x^2} + 1}& \Leftarrow &{x \leqslant 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]

muda de sinal quando passa da esquerda para a direita de zero, mas a função $f$ …

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12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Um corredor de um museu

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 11

Enunciado

Na figura está representado um corredor de um museu.

Considere a reta que passa por O, sendo $0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}$, e que encontra as paredes em A e B.

  1. Exprima $\overline {OA} $ em função de $\alpha $.
     
  2. Exprima $\overline {OB} $ em função
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12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

A secção de um túnel

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 8

Enunciado

A secção de um túnel é um semicírculo com 1 hm de raio.

No interior do túnel há uma estrutura com a forma de um trapézio, como mostra a figura.

Qual é o valor de $\theta $ $\left( {0 < \theta  < \frac{\pi }{2}} \right)$ que torna …

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12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Uma rolha flutua num lago

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 127 Ex. 7

Enunciado

Uma rolha flutua num lago, movendo-se para cima e para baixo.

A distância $d(t)$ do fundo do lago ao centro da rolha no instante $t \geqslant 0$ é dada por $$d(t) = \cos \left( {\pi t} \right) + 12$$ com $d(t)$ expresso em metros e $t$ em …

Considere as funções 0

12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Considere as funções

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 27 Ex. 2

Enunciado

Considere as funções:

$$f(x) = 2\operatorname{sen} x$$

$$g(x) =  – 0,5\operatorname{sen} x$$

$$h(x) =  – 1 + \operatorname{sen} x$$

$$t(x) =  – 1 + 2\operatorname{sen} x$$

Determine para cada uma:

  • a expressão geral dos zeros;
  • os extremos e a expressão dos minimizantes e maximizantes;
  • o contradomínio;
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12.º Ano / Aplicando / Cálculo diferencial

Uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 231 Ex. 99

Enunciado

Quando uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea, a sua concentração $C$, $t$ minutos depois, é dada por $$C(t) = \frac{1}{2}\left( {{e^{ – 2t}} – {e^{ – 4t}}} \right)$$

  1. Em que instante ocorre a concentração máxima e qual o seu valor?
     
  2. O que se pode dizer
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12.º Ano / Aplicando / Cálculo diferencial

Um fio encontra-se suspenso entre dois postes

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 230 Ex. 96

Enunciado

 Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre ambos é de 30 metros.

Considere a função $f$ definida por $$f(x) = 5\left( {{e^{1 – 0,1x}} + {e^{0,1x – 1}}} \right)$$

Admita que $f(x)$ é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio a …

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12.º Ano / Aplicando / Cálculo diferencial

Um novo analgésico: o AntiDor

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 94

Resolução

Um laboratório farmacêutico lançou no mercado um novo analgésico: o AntiDor.

A concentração desse medicamento, em decigramas por litro de sangue, $t$ horas após ser administrado a uma pessoa, é dada por $$C(t) = {t^2}{e^{ – 0,6t}}\,\,\,\left( {t \geqslant 0} \right)$$

  1. Recorrendo exclusivamente a processos analíticos,
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12.º Ano / Aplicando / Cálculo diferencial

Capacidade pulmonar de um ser humano

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 92

Enunciado

Seja $f$ a função definida em $\left[ {10,100} \right]$ por $$f(x) = \frac{{\ln x – 2}}{x}$$

  1. Caraterize a função derivada $f’$.
     
  2. Representando por $x$ a idade, em anos, e por $g(x)$ a capacidade pulmonar de um ser humano, em litros, admite-se que $g(x) = 100 \times f(x)$.
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12.º Ano / Aplicando / Cálculo diferencial

A representação gráfica de uma função real de variável real

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 226 Ex. 85

Enunciado

Segue-se a representação gráfica de uma função $f$ real de domínio $\mathbb{R}$.

O eixo das ordenadas e a reta de equação $y = mx + b$, representada a traço-ponto, são as únicas assíntotas do gráfico.

As retas tangentes ao gráfico de $f$, nos pontos de abcissas -2 …

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12.º Ano / Aplicando / Cálculo diferencial

Uma viga de aço

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 225 Ex. 83

Enunciado

Uma viga de aço com 255 decímetros de comprimento está assente sobre dois pilares com 150 decímetros de altura cada.

Quando, a $d$ decímetros do 1.º pilar, se coloca um peso de 115 kg sobre a viga, esta sofre uma depressão de valor $s$ (em decímetros) que …

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12.º Ano / Aplicando / Cálculo diferencial

Um triângulo equilátero

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 224 Ex. 81

Enunciado

Considere o triângulo retângulo [ABC] de lado $a$.

Increve-se nesse triângulo um retângulo [MNPQ].

Faça-se $\overline {AM}  = x$.

Para que valor de $x$ a área do retângulo é máxima?

Resolução >> Resolução

Como o triângulo  [ABC] é equiângulo, temos: $$\operatorname{tg} 60^\circ  = \frac{{\overline {QM} }}{{\overline {AM} …

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12.º Ano / Aplicando / Cálculo diferencial

Um trapézio isósceles

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 224 Ex. 79

Enunciado

[ABCD] é um trapézio isósceles de área $5\sqrt 2 \,\,c{m^2}$.

Os ângulos agudos medem 45º.

Seja $x$ (em cm) a altura do trapézio e $P(x)$ o seu perímetro (em cm).

  1. Exprima $\overline {DH} $ e $\overline {CK} $ em função de $x$.
     
  2. Exprima $\overline {AD} $ e
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12.º Ano / Aplicando / Cálculo diferencial

Dimensões de um triângulo de área máxima

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 223 Ex. 75

Enunciado

Considere a parábola definida por $y =  – {x^2} + 9$.

Supondo que a unidade adoptada é o centímetro, determine as dimensões do retângulo [EFGH] de área máxima, sabendo que E e F são pontos da parábola e G e H são pontos do eixo das abcissas.…

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12.º Ano / Aplicando

Uma trave de madeira

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 222 Ex. 73

Enunciado

Num canto de um terreno murado pretende-se delimitar com uma trave de madeira a maior área de terreno possível.

Sabendo que a trave mede 5 metros, em que posição deve ser colocada?

Resolução >> Resolução

Para $0 < x < 5$ e $0 < y < 5$, …

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11.º Ano / Aplicando / Derivadas

Mais sobre derivadas

11.º Ano: Ficha de Trabalho

Apresenta-se uma Ficha de Trabalho com problemas relativos à interpretação geométrica da taxa de variação, ao sinal da derivada e sentido de variação da função e à determinação de extremos relativos de uma função.

A Ficha de Trabalho contém soluções e ainda uma Proposta de Resolução.

Bom Trabalho!

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11.º Ano / Aplicando / Derivadas

SURF, Fresco e Natural

Enunciado

Uma nova empresa de refrigerantes pretende lançar no mercado embalagens de sumo de fruta, com capacidade de dois litros.

Por questões de marketing, as embalagens deverão ter a forma de um prisma quadrangular regular.

  1. Mostre que a área total da embalagem, em dm2, é dada
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11.º Ano / Aplicando / Derivadas

Um objecto move-se ao longo de uma recta

Enunciado

Um objecto move-se ao longo de uma recta e a sua distância, em centímetros, a um ponto de referência fixo é dada em função do tempo t, em segundos, por \[\begin{matrix}
   d\,(t)=2\,t+\frac{8}{t+1} & (t\ge 0)  \\
\end{matrix}\]

Recorrendo exclusivamente a processos analíticos, resolva as …

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11.º Ano / Aplicando / Derivadas

A área de um triângulo

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 199 Ex. 51

Enunciado

O triângulo [ABC] está inscrito num semicírculo de diâmetro 15 cm.

  1. Exprima a área de triângulo [ABC] em função do cateto de medida x.
     
  2. Determine um valor aproximado de x para o qual a área é máxima.
    Qual é o valor dessa área?

Resolução >> Resolução

  1. Admitindo
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11.º Ano / Aplicando / Derivadas

A densidade populacional

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 198 Ex. 49

Enunciado

A densidade populacional (número de habitantes por unidade de área) de muitas cidades depende, grosseiramente, da distância ao centro da cidade.

Para uma determinada cidade, a densidade populacional P, em milhares de pessoas por km2, à distância de r quilómetros do centro, é dada, aproximadamente, …

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11.º Ano / Aplicando / Derivadas

Uma folha rectangular de metal

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 198 Ex. 48

Resolução

Uma folha rectangular de metal com 20 cm de largura vai ser dobrada para se fabricarem caleiras, como mostra a figura.

Por onde devem ser feitas as dobragens para que a caleira transporte a maior quantidade possível de água?

Resolução >> Resolução

Para que a caleira transporte …

Considere a função quadrática 0

11.º Ano / Aplicando / Derivadas

Considere a função quadrática

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 196 Ex. 44

Enunciado

Considere a função quadrática definida por $g(x)=3{{x}^{2}}+6x+5$.

  1. Resolva a equação $g'(x)=0$, determine as coordenadas do vértice da parábola gráfico de g e apresente um esboço desse gráfico.
     
  2. Use o gráfico construído em 1 para mostrar que a função polinomial $h:x\to {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+5x+7$ não tem extremos e, em seguida,
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11.º Ano / Aplicando / Derivadas

Lançou-se um foguete de fabrico artesanal

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 196 Ex. 43

Enunciado

Lançou-se um foguete de fabrico artesanal. Devido a um defeito de fabrico, o foguete começa a perder altura, mas, em seguida, recupera e sobe de novo. A altura a (em metros) a que se encontra é dada, em função do tempo t decorrido (em segundos) após o …