Tagged: extremos relativos
Funções com radicais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 177 Ex. 11
Enunciado
Dois automóveis circulam à mesma velocidade, em estradas perpendiculares, em direção a um cruzamento.
Um deles encontra-se a $5$ km do cruzamento e o outro a $6$ km.
Representa graficamente a função que dá a distância entre os dois automóveis à medida que se aproximam do cruzamento.…
Funções com radicais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 174 Ex. 16
Enunciado
Considere o triângulo da figura inscrito numa semicircunferência de centro C.
- Justifique que o triângulo é retângulo.
- Exprima a área do triângulo em função do raio e do cateto de comprimento $x$.
- Qual deve ser o raio da circunferência para que o triângulo tenha área $10$ e
…
Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 82 Ex. 19
Enunciado
Mostre que a derivada da função definida por \[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right)}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
x& \Leftarrow &{x > 0} \\
{{x^2} + 1}& \Leftarrow &{x \leqslant 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]
muda de sinal quando passa da esquerda para a direita de zero, mas a função $f$ …
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 11
Enunciado
Na figura está representado um corredor de um museu.
Considere a reta que passa por O, sendo $0 < \alpha < \frac{\pi }{2}$, e que encontra as paredes em A e B.
- Exprima $\overline {OA} $ em função de $\alpha $.
- Exprima $\overline {OB} $ em função
…
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 8
Enunciado
A secção de um túnel é um semicírculo com 1 hm de raio.
No interior do túnel há uma estrutura com a forma de um trapézio, como mostra a figura.
Qual é o valor de $\theta $ $\left( {0 < \theta < \frac{\pi }{2}} \right)$ que torna …
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 127 Ex. 7
Enunciado
Uma rolha flutua num lago, movendo-se para cima e para baixo.
A distância $d(t)$ do fundo do lago ao centro da rolha no instante $t \geqslant 0$ é dada por $$d(t) = \cos \left( {\pi t} \right) + 12$$ com $d(t)$ expresso em metros e $t$ em …
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 27 Ex. 2
Enunciado
Considere as funções:
$$f(x) = 2\operatorname{sen} x$$
$$g(x) = – 0,5\operatorname{sen} x$$
$$h(x) = – 1 + \operatorname{sen} x$$
$$t(x) = – 1 + 2\operatorname{sen} x$$
Determine para cada uma:
- a expressão geral dos zeros;
- os extremos e a expressão dos minimizantes e maximizantes;
- o contradomínio;
…
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 231 Ex. 99
Enunciado
Quando uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea, a sua concentração $C$, $t$ minutos depois, é dada por $$C(t) = \frac{1}{2}\left( {{e^{ – 2t}} – {e^{ – 4t}}} \right)$$
- Em que instante ocorre a concentração máxima e qual o seu valor?
- O que se pode dizer
…
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 230 Ex. 96
Enunciado
Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre ambos é de 30 metros.
Considere a função $f$ definida por $$f(x) = 5\left( {{e^{1 – 0,1x}} + {e^{0,1x – 1}}} \right)$$
Admita que $f(x)$ é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio a …
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 94
Resolução
Um laboratório farmacêutico lançou no mercado um novo analgésico: o AntiDor.
A concentração desse medicamento, em decigramas por litro de sangue, $t$ horas após ser administrado a uma pessoa, é dada por $$C(t) = {t^2}{e^{ – 0,6t}}\,\,\,\left( {t \geqslant 0} \right)$$
- Recorrendo exclusivamente a processos analíticos,
…
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 92
Enunciado
Seja $f$ a função definida em $\left[ {10,100} \right]$ por $$f(x) = \frac{{\ln x – 2}}{x}$$
- Caraterize a função derivada $f’$.
- Representando por $x$ a idade, em anos, e por $g(x)$ a capacidade pulmonar de um ser humano, em litros, admite-se que $g(x) = 100 \times f(x)$.
…
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 226 Ex. 85
Enunciado
Segue-se a representação gráfica de uma função $f$ real de domínio $\mathbb{R}$.
O eixo das ordenadas e a reta de equação $y = mx + b$, representada a traço-ponto, são as únicas assíntotas do gráfico.
As retas tangentes ao gráfico de $f$, nos pontos de abcissas -2 …
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 225 Ex. 83
Enunciado
Uma viga de aço com 255 decímetros de comprimento está assente sobre dois pilares com 150 decímetros de altura cada.
Quando, a $d$ decímetros do 1.º pilar, se coloca um peso de 115 kg sobre a viga, esta sofre uma depressão de valor $s$ (em decímetros) que …
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 224 Ex. 81
Enunciado
Considere o triângulo retângulo [ABC] de lado $a$.
Increve-se nesse triângulo um retângulo [MNPQ].
Faça-se $\overline {AM} = x$.
Para que valor de $x$ a área do retângulo é máxima?
Resolução >>
Resolução
Como o triângulo [ABC] é equiângulo, temos: $$\operatorname{tg} 60^\circ = \frac{{\overline {QM} }}{{\overline {AM} …
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 224 Ex. 79
Enunciado
[ABCD] é um trapézio isósceles de área $5\sqrt 2 \,\,c{m^2}$.
Os ângulos agudos medem 45º.
Seja $x$ (em cm) a altura do trapézio e $P(x)$ o seu perímetro (em cm).
- Exprima $\overline {DH} $ e $\overline {CK} $ em função de $x$.
- Exprima $\overline {AD} $ e
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Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 223 Ex. 75
Enunciado
Considere a parábola definida por $y = – {x^2} + 9$.
Supondo que a unidade adoptada é o centímetro, determine as dimensões do retângulo [EFGH] de área máxima, sabendo que E e F são pontos da parábola e G e H são pontos do eixo das abcissas.…
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 222 Ex. 73
Enunciado
Num canto de um terreno murado pretende-se delimitar com uma trave de madeira a maior área de terreno possível.
Sabendo que a trave mede 5 metros, em que posição deve ser colocada?
Resolução >>
Resolução
Para $0 < x < 5$ e $0 < y < 5$, …
11.º Ano: Ficha de Trabalho
Apresenta-se uma Ficha de Trabalho com problemas relativos à interpretação geométrica da taxa de variação, ao sinal da derivada e sentido de variação da função e à determinação de extremos relativos de uma função.
A Ficha de Trabalho contém soluções e ainda uma Proposta de Resolução.
Bom Trabalho!
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Enunciado
Uma nova empresa de refrigerantes pretende lançar no mercado embalagens de sumo de fruta, com capacidade de dois litros.
Por questões de marketing, as embalagens deverão ter a forma de um prisma quadrangular regular.
- Mostre que a área total da embalagem, em dm2, é dada
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Enunciado
Um objecto move-se ao longo de uma recta e a sua distância, em centímetros, a um ponto de referência fixo é dada em função do tempo t, em segundos, por \[\begin{matrix}
d\,(t)=2\,t+\frac{8}{t+1} & (t\ge 0) \\
\end{matrix}\]
Recorrendo exclusivamente a processos analíticos, resolva as …
Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 199 Ex. 51
Enunciado
O triângulo [ABC] está inscrito num semicírculo de diâmetro 15 cm.
- Exprima a área de triângulo [ABC] em função do cateto de medida x.
- Determine um valor aproximado de x para o qual a área é máxima.
Qual é o valor dessa área?
Resolução >>
Resolução
- Admitindo
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Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 198 Ex. 49
Enunciado
A densidade populacional (número de habitantes por unidade de área) de muitas cidades depende, grosseiramente, da distância ao centro da cidade.
Para uma determinada cidade, a densidade populacional P, em milhares de pessoas por km2, à distância de r quilómetros do centro, é dada, aproximadamente, …
Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 198 Ex. 48
Resolução
Uma folha rectangular de metal com 20 cm de largura vai ser dobrada para se fabricarem caleiras, como mostra a figura.
Por onde devem ser feitas as dobragens para que a caleira transporte a maior quantidade possível de água?
Resolução >>
Resolução
Para que a caleira transporte …
Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 196 Ex. 44
Enunciado
Considere a função quadrática definida por $g(x)=3{{x}^{2}}+6x+5$.
- Resolva a equação $g'(x)=0$, determine as coordenadas do vértice da parábola gráfico de g e apresente um esboço desse gráfico.
- Use o gráfico construído em 1 para mostrar que a função polinomial $h:x\to {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+5x+7$ não tem extremos e, em seguida,
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Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 196 Ex. 43
Enunciado
Lançou-se um foguete de fabrico artesanal. Devido a um defeito de fabrico, o foguete começa a perder altura, mas, em seguida, recupera e sobe de novo. A altura a (em metros) a que se encontra é dada, em função do tempo t decorrido (em segundos) após o …
