A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

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11.º Ano / Aplicando / Funções com radicais

A distância entre os automóveis

Funções com radicais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 177 Ex. 11

Enunciado

Dois automóveis circulam à mesma velocidade, em estradas perpendiculares, em direção a um cruzamento.
Um deles encontra-se a $5$ km do cruzamento e o outro a $6$ km.

Representa graficamente a função que dá a distância entre os dois automóveis à medida que se aproximam do cruzamento.…

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11.º Ano / Aplicando / Funções com radicais

Um triângulo inscrito numa semicircunferência

Funções com radicais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 174 Ex. 16

Enunciado

Considere o triângulo da figura inscrito numa semicircunferência de centro C.

  1. Justifique que o triângulo é retângulo.
     
  2. Exprima a área do triângulo em função do raio e do cateto de comprimento $x$.
     
  3. Qual deve ser o raio da circunferência para que o triângulo tenha área $10$ e
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11.º Ano / Aplicando / Derivadas

Mostre que a função não admite extremo em $x = 0$

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 82 Ex. 19

Enunciado

Mostre que a derivada da função definida por \[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right)}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  x& \Leftarrow &{x > 0} \\
  {{x^2} + 1}& \Leftarrow &{x \leqslant 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]

muda de sinal quando passa da esquerda para a direita de zero, mas a função $f$ …

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12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Um corredor de um museu

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 11

Enunciado

Na figura está representado um corredor de um museu.

Considere a reta que passa por O, sendo $0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}$, e que encontra as paredes em A e B.

  1. Exprima $\overline {OA} $ em função de $\alpha $.
     
  2. Exprima $\overline {OB} $ em função
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12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

A secção de um túnel

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 8

Enunciado

A secção de um túnel é um semicírculo com 1 hm de raio.

No interior do túnel há uma estrutura com a forma de um trapézio, como mostra a figura.

Qual é o valor de $\theta $ $\left( {0 < \theta  < \frac{\pi }{2}} \right)$ que torna …

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12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Uma rolha flutua num lago

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 127 Ex. 7

Enunciado

Uma rolha flutua num lago, movendo-se para cima e para baixo.

A distância $d(t)$ do fundo do lago ao centro da rolha no instante $t \geqslant 0$ é dada por $$d(t) = \cos \left( {\pi t} \right) + 12$$ com $d(t)$ expresso em metros e $t$ em …

Considere as funções 0

12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Considere as funções

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 27 Ex. 2

Enunciado

Considere as funções:

$$f(x) = 2\operatorname{sen} x$$

$$g(x) =  – 0,5\operatorname{sen} x$$

$$h(x) =  – 1 + \operatorname{sen} x$$

$$t(x) =  – 1 + 2\operatorname{sen} x$$

Determine para cada uma:

  • a expressão geral dos zeros;
  • os extremos e a expressão dos minimizantes e maximizantes;
  • o contradomínio;
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12.º Ano / Aplicando / Cálculo diferencial

Uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 231 Ex. 99

Enunciado

Quando uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea, a sua concentração $C$, $t$ minutos depois, é dada por $$C(t) = \frac{1}{2}\left( {{e^{ – 2t}} – {e^{ – 4t}}} \right)$$

  1. Em que instante ocorre a concentração máxima e qual o seu valor?
     
  2. O que se pode dizer
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12.º Ano / Aplicando / Cálculo diferencial

Um fio encontra-se suspenso entre dois postes

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 230 Ex. 96

Enunciado

 Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre ambos é de 30 metros.

Considere a função $f$ definida por $$f(x) = 5\left( {{e^{1 – 0,1x}} + {e^{0,1x – 1}}} \right)$$

Admita que $f(x)$ é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio a …

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12.º Ano / Aplicando / Cálculo diferencial

Um novo analgésico: o AntiDor

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 94

Resolução

Um laboratório farmacêutico lançou no mercado um novo analgésico: o AntiDor.

A concentração desse medicamento, em decigramas por litro de sangue, $t$ horas após ser administrado a uma pessoa, é dada por $$C(t) = {t^2}{e^{ – 0,6t}}\,\,\,\left( {t \geqslant 0} \right)$$

  1. Recorrendo exclusivamente a processos analíticos,
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12.º Ano / Aplicando / Cálculo diferencial

Capacidade pulmonar de um ser humano

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 92

Enunciado

Seja $f$ a função definida em $\left[ {10,100} \right]$ por $$f(x) = \frac{{\ln x – 2}}{x}$$

  1. Caraterize a função derivada $f’$.
     
  2. Representando por $x$ a idade, em anos, e por $g(x)$ a capacidade pulmonar de um ser humano, em litros, admite-se que $g(x) = 100 \times f(x)$.
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12.º Ano / Aplicando / Cálculo diferencial

A representação gráfica de uma função real de variável real

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 226 Ex. 85

Enunciado

Segue-se a representação gráfica de uma função $f$ real de domínio $\mathbb{R}$.

O eixo das ordenadas e a reta de equação $y = mx + b$, representada a traço-ponto, são as únicas assíntotas do gráfico.

As retas tangentes ao gráfico de $f$, nos pontos de abcissas -2 …