Considere as funções
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 27 Ex. 2
Considere as funções:
$$f(x) = 2\operatorname{sen} x$$
$$g(x) = – 0,5\operatorname{sen} x$$
$$h(x) = – 1 + \operatorname{sen} x$$
$$t(x) = – 1 + 2\operatorname{sen} x$$
Determine para cada uma:
- a expressão geral dos zeros;
- os extremos e a expressão dos minimizantes e maximizantes;
- o contradomínio;
- o período positivo mínimo.
$f(x) = 2\operatorname{sen} x$
- a expressão geral dos zeros
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{f(x) = 0}& \Leftrightarrow &{2\operatorname{sen} x = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{\operatorname{sen} x = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}}
\end{array}$$
- os extremos e a expressão dos minimizantes e maximizantes
Mínimo: $- 2$
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{f(x) = – 2}& \Leftrightarrow &{2\operatorname{sen} x = – 2} \\
{}& \Leftrightarrow &{\operatorname{sen} x = – 1} \\
{}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{3\pi }}{2} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}}
\end{array}$$
Máximo: $2$
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{f(x) = 2}& \Leftrightarrow &{2\operatorname{sen} x = 2} \\
{}& \Leftrightarrow &{\operatorname{sen} x = 1} \\
{}& \Leftrightarrow &{x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}}
\end{array}$$
- o contradomínio
$$D{‘_f} = \left[ { – 2,2} \right]$$
- o período positivo mínimo
Período positivo mínimo: $2\pi $
$g(x) = – 0,5\operatorname{sen} x$
- a expressão geral dos zeros
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{g(x) = 0}& \Leftrightarrow &{ – 0,5\operatorname{sen} x = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{\operatorname{sen} x = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}}
\end{array}$$
- os extremos e a expressão dos minimizantes e maximizantes
Mínimo: $ – \frac{1}{2}$
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{g(x) = – \frac{1}{2}}& \Leftrightarrow &{ – 0,5\operatorname{sen} x = – \frac{1}{2}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\operatorname{sen} x = 1} \\
{}& \Leftrightarrow &{x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}}
\end{array}$$
Máximo: $\frac{1}{2}$
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{g(x) = \frac{1}{2}}& \Leftrightarrow &{ – 0,5\operatorname{sen} x = \frac{1}{2}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\operatorname{sen} x = – 1} \\
{}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{3\pi }}{2} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}}
\end{array}$$
- o contradomínio
$$D{‘_g} = \left[ { – \frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right]$$
- o período positivo mínimo
Período positivo mínimo: $2\pi $
$h(x) = – 1 + \operatorname{sen} x$
- a expressão geral dos zeros
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{h(x) = 0}& \Leftrightarrow &{ – 1 + \operatorname{sen} x = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{\operatorname{sen} x = 1} \\
{}& \Leftrightarrow &{x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}}
\end{array}$$
- os extremos e a expressão dos minimizantes e maximizantes
Mínimo: $ – 2$
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{h(x) = – 2}& \Leftrightarrow &{ – 1 + \operatorname{sen} x = – 2} \\
{}& \Leftrightarrow &{\operatorname{sen} x = – 1} \\
{}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{3\pi }}{2} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}}
\end{array}$$
Máximo: $0$
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{h(x) = 0}& \Leftrightarrow &{ – 1 + \operatorname{sen} x = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{\operatorname{sen} x = 1} \\
{}& \Leftrightarrow &{x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}}
\end{array}$$
- o contradomínio
$$D{‘_h} = \left[ { – 2,0} \right]$$
- o período positivo mínimo
Período positivo mínimo: $2\pi $
$t(x) = – 1 + 2\operatorname{sen} x$
- a expressão geral dos zeros
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{t(x) = 0}& \Leftrightarrow &{ – 1 + 2\operatorname{sen} x = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{\operatorname{sen} x = \frac{1}{2}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{6} + 2k\pi }& \vee &{x = \frac{{5\pi }}{6} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}}
\end{array}}
\end{array}$$
- os extremos e a expressão dos minimizantes e maximizantes
Mínimo: $ – 3$
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{t(x) = – 3}& \Leftrightarrow &{ – 1 + 2\operatorname{sen} x = – 3} \\
{}& \Leftrightarrow &{\operatorname{sen} x = – 1} \\
{}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{3\pi }}{2} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}}
\end{array}$$
Máximo: $1$
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{t(x) = 1}& \Leftrightarrow &{ – 1 + 2\operatorname{sen} x = 1} \\
{}& \Leftrightarrow &{\operatorname{sen} x = 1} \\
{}& \Leftrightarrow &{x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}}
\end{array}$$
- o contradomínio
$$D{‘_t} = \left[ { – 3,1} \right]$$
- o período positivo mínimo
Período positivo mínimo: $2\pi $