Um corredor de um museu
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 11
Na figura está representado um corredor de um museu.
Considere a reta que passa por O, sendo $0 < \alpha < \frac{\pi }{2}$, e que encontra as paredes em A e B.
- Exprima $\overline {OA} $ em função de $\alpha $.
- Exprima $\overline {OB} $ em função de $\alpha $.
- a) Faça $\overline {AB} = f(\alpha )$ e mostre que $$f(\alpha ) = \frac{5}{{\operatorname{sen} \alpha }} + \frac{1}{{\cos \alpha }}$$b) Determine a função derivada de $f$ em $\left] {0,\frac{\pi }{2}} \right[$ e deduza, recorrendo à calculadora, um valor aproximado ${\alpha _0}$ de $\alpha $ para o qual $f$ admite extremo.c) Calcule o valor de $\overline {AB} $ para $\alpha = {\alpha _0}$.
d) Pretende-se transportar, naquele corredor, um painel, em posição vertical.
Qual as consequências práticas que se podem tirar do estudo feito nas alíneas anteriores?
Ora,
$$\operatorname{sen} \alpha = \frac{5}{{\overline {OA} }} \Leftrightarrow \overline {OA} = \frac{5}{{\operatorname{sen} \alpha }}$$
- Ora,
$$\operatorname{sen} \left( {\frac{\pi }{2} – \alpha } \right) = \frac{1}{{\overline {OB} }} \Leftrightarrow \overline {OB} = \frac{1}{{\operatorname{sen} \left( {\frac{\pi }{2} – \alpha } \right)}} \Leftrightarrow \overline {OB} = \frac{1}{{\cos \alpha }}$$
- a) Para $\alpha \in \left] {0,\frac{\pi }{2}} \right[$, temos: $$\begin{array}{*{20}{l}}
{f(\alpha )}& = &{\overline {OA} + \overline {OB} } \\
{}& = &{\frac{5}{{\operatorname{sen} \alpha }} + \frac{1}{{\cos \alpha }}}
\end{array}$$b) Para $\alpha \in \left] {0,\frac{\pi }{2}} \right[$, temos: \[\begin{array}{*{20}{l}}
{f’\left( \alpha \right)}& = &{{{\left( {\frac{5}{{\operatorname{sen} \alpha }} + \frac{1}{{\cos \alpha }}} \right)}^\prime }} \\
{}& = &{\frac{{ – 5\cos \alpha }}{{{{\operatorname{sen} }^2}\alpha }} + \frac{{\operatorname{sen} \alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}} \\
{}& = &{\frac{{\operatorname{sen} \alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} – \frac{{5\cos \alpha }}{{{{\operatorname{sen} }^2}\alpha }}}
\end{array}\]No intervalo $\left] {0,\frac{\pi }{2}} \right[$, ${f’}$ é estritamente crescente, começando por ser negativa e depois passa a positiva, anulando para $\alpha \approx 1,04$.
Consequentemente, no mesmo intervalo, a função $f$ começa por ser decrescente, atingindo o seu mínimo para $\alpha \approx 1,04$, passando de seguida a ser crescente.
Portanto, o valor procurado é ${\alpha _0} \approx 1,04$.
c) O valor de $\overline {AB} $ para $\alpha = {\alpha _0}$ é $$f({\alpha _0}) = \frac{5}{{\operatorname{sen} {\alpha _0}}} + \frac{1}{{\cos {\alpha _0}}} \approx 7,8$$
d) Para $\alpha \approx 1,04$ radianos vem $\overline {AB} \approx 7,8$ metros, valor este que, sendo o mínimo de $f$, corresponde ao comprimento máximo do painel a transportar de modo que seja possível fazê-lo passar no corredor.
