Uma rolha flutua num lago

Uma rolha flutua num lago, movendo-se para cima e para baixo.

A distância $d(t)$ do fundo do lago ao centro da rolha no instante $t \geqslant 0$ é dada por $$d(t) = \cos \left( {\pi t} \right) + 12$$ com $d(t)$ expresso em metros e $t$ em segundos.

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1. A distância da rolha ao fundo do lago igual a 11,5 m para: $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {d(t) = 11,5}& \Leftrightarrow &{\cos \left( {\pi t} \right) + 12 = 11,5 \wedge t \geqslant 0} \\
   {}& \Leftrightarrow &{\cos \left( {\pi t} \right) =  – 0,5 \wedge t \geqslant 0} \\
   {}& \Leftrightarrow &{\pi t =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z} \wedge t \geqslant 0} \\
   {}& \Leftrightarrow &{t =  \pm \frac{2}{3} + 2k,k \in \mathbb{Z} \wedge t \geqslant 0} \\
   {}& \Leftrightarrow &{\left( {t = \frac{2}{3} + 2k \vee t = \frac{4}{3} + 2k,k \in \mathbb{Z}} \right) \wedge t \geqslant 0} \\
   {}& \Leftrightarrow &{t = \frac{2}{3} + 2k \vee t = \frac{4}{3} + 2k,k \in \mathbb{Z}_0^ + }
   \end{array}$$
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2. A distância mínima da rolha ao fundo do lago é ${d_{mín}} =  – 1 + 12 = 11$ metros e a distância máxima é ${d_{máx}} = 1 + 12 = 13$ metros. Portanto, $11 \leqslant d \leqslant 13$, em metros.
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3. Como $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {d(t + T) = d(t)}& \Leftrightarrow &{\cos \left( {\pi \left( {t + T} \right)} \right) + 12 = \cos \left( {\pi t} \right) + 12} \\
   {}& \Leftrightarrow &{\cos \left( {\pi t + \pi T} \right) = \cos \left( {\pi t} \right)} \\
   {}& \Leftrightarrow &{\pi T = 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \\
   {}& \Leftrightarrow &{T = 2k,k \in \mathbb{Z}}
   \end{array}$$ o período positivo mínimo é $T = 2$ segundos.
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4. Como $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {d’(t)}& = &{\left( {\cos \left( {\pi t} \right) + 12} \right)’} \\
   {}& = &{ – \pi \operatorname{sen} \left( {\pi t} \right),\forall t \geqslant 0}
   \end{array}$$
   a velocidade da rolha nos instantes considerados é, respetivamente, $$d’\left( {\frac{7}{6}} \right) =  – \pi \operatorname{sen} \left( {\frac{7}{6}\pi } \right) =  – \pi  \times \left( { – \frac{1}{2}} \right) = \frac{\pi }{2}$$ e $$d’\left( {\frac{{17}}{3}} \right) =  – \pi \operatorname{sen} \left( {\frac{{17}}{3}\pi } \right) =  – \pi \operatorname{sen} \left( {\frac{5}{3}\pi } \right) =  – \pi  \times \left( { – \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\pi $$ metros por segundo.
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5. A rolha sobe nos intervalos onde a função $d$ é crescente, isto é, nos intervalos onde $d’$ é positiva: $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {d’(t) > 0}& \Leftrightarrow &{ – \pi \operatorname{sen} \left( {\pi t} \right) > 0 \wedge t \geqslant 0} \\
   {}& \Leftrightarrow &{\operatorname{sen} \left( {\pi t} \right) < 0 \wedge t \geqslant 0} \\
   {}& \Leftrightarrow &{\pi  + 2k\pi  < \pi t < 2\pi  + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z} \wedge t \geqslant 0} \\
   {}& \Leftrightarrow &{1 + 2k < t < 2 + 2k,k \in \mathbb{Z} \wedge t \geqslant 0} \\
   {}& \Leftrightarrow &{t \in \left] {1 + 2k,2 + 2k} \right[,k \in \mathbb{Z}_0^ + }
   \end{array}$$
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