Observa o triângulo [ABC], retângulo em A
Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 56 Ex. 5
Enunciado
Observa o triângulo [ABC], retângulo em A.
Sabendo que \(\cos \alpha = \frac{{12}}{{13}}\), calcula:
- os valores exatos de \({{\mathop{\rm sen}\nolimits} \alpha }\) e de \({\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha \).
- o comprimento da hipotnusa do triângulo [ABC].
Resolução
Aplicando a Fórmula Fundamental da Trigonometria, vem:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{{{\mathop{\rm sen}\nolimits} }^2}\alpha + {{\left( {\frac{{12}}{{13}}} \right)}^2} = 1}& \Leftrightarrow &{{{{\mathop{\rm sen}\nolimits} }^2}\alpha = 1 – \frac{{144}}{{169}}}\\{}& \Leftrightarrow &{{{{\mathop{\rm sen}\nolimits} }^2}\alpha = \frac{{25}}{{169}}}\end{array}\]
Como \({\mathop{\rm sen}\nolimits} \alpha > 0\), então \({\mathop{\rm sen}\nolimits} \alpha = \sqrt {\frac{{25}}{{169}}} = \frac{5}{{13}}\).
Por último, vem: \({\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha = \frac{{{\mathop{\rm sen}\nolimits} \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{{\textstyle{5 \over {13}}}}}{{{\textstyle{{12} \over {13}}}}} = \frac{5}{{13}} \times \frac{{13}}{{12}} = \frac{5}{{12}}\).
- Ora,
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\mathop{\rm sen}\nolimits} \alpha = \frac{{\overline {AC} }}{{\overline {BC} }}}& \Leftrightarrow &{\frac{5}{{13}} = \frac{{16}}{{\overline {BC} }}}\\{}& \Leftrightarrow &{\overline {BC} = \frac{{13 \times 16}}{5}}\\{}& \Leftrightarrow &{\overline {BC} = 41,6}\end{array}\]
Portanto, \(\overline {BC} = 41,6\) cm.
