Possidónio e a medida da circunferência da Terra
O incrível poder da matemática como uma ferramenta para modelar o nosso mundo
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Possidónio
Possidónio de Rodes (135 AC, Apameia – 51 AC, Rodes) também é conhecido como Possidónio de Apameia. O primeiro destes nomes refere-se ao local onde ensinou, enquanto o segundo refere-se à cidade de seu nascimento, Apameia, uma cidade romana, na Síria, junto ao rio Orontes.
Embora tivesse nascido em Apameia, Possidónio era filho de uma família grega e foi criado na tradição grega. Para completar a sua educação foi para Atenas, onde estudou com o filósofo estoico Panécio de Rodes.
Possidónio estabeleceu-se em Rodes cerca de 95 AC. Aí, criou uma escola e, embora pouco se saiba sobre sua organização, é certo que ensinou estudantes gregos e romanos. Possidónio tomou parte ativa na vida política de Rodes. Teve tal proeminência que serviu como prítane (mais alto magistrado) de Rodes, tendo sido enviado a Roma como embaixador.
Possidónio, apelidado de “o atleta”, viajou muito pela região do Mediterrâneo ocidental e, nas suas viagens, realizou muitos estudos científicos relacionados com astronomia, geografia e geologia.
Nenhum dos escritos de Possidónio sobreviveu, mas muito tem sido escrito sobre as suas conquistas, bem como realizado muito trabalho na tentativa de reconstruir os seus pontos de vista a partir de fragmentos dos seus escritos que foram preservados em citações de autores posteriores.
O seu trabalho na astronomia é relativamente bem conhecido, pois foi trazido até nós pelo tratado de Cleomedes Nos movimentos circulares dos corpos celestes.
Sobre a medida da circunferência da Terra
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No seu trabalho, Cleomedes explica o método utilizado por Possidónio para calcular o comprimento da circunferência da Terra.
O seu método baseia-se em observações da estrela Canopus (latim) [Canopo, em português] em Rodes e Alexandria. Em Rodes, ele observa que Canopus toca o horizonte, enquanto em Alexandria atinge uma altitude de 7° 30′. Usando uma distância de 5.000 estádios entre Rodes e Alexandria, ele obteve um valor de 240.000 estádios para o comprimento da circunferência da Terra.
Fragmento
The natural philosophers have stated many opinions about the size of the earth; but those of Eratosthenes and Poseidonius are better than the others. Eratosthenes uses a geometrical method to calculate the size, but Poseidonius’ reasoning is simpler. Both of them assume some hypotheses, and then work out the consequences of these hypotheses to arrive at their conclusions. First, we will discuss Poseidonius’ opinion.
Poseidonius says that Rhodes and Alexandria lie on the same meridian . . . and the distance between the two cities is said to be 5,000 stades. Let it be assumed that this is correct . . . Then Poseidonius divides the zodiac, which is aligned to the meridians . . . into 48 parts, by splitting each of the twelve [signs] into four parts. If the meridian of Rhodes and Alexandria is split into 48 parts in the same way as the zodiac, each section of it will be equivalent to one of the sections of the zodiac, as we have just described . . . After making this division, Poseidonius says that the star called Canopus is very bright in the south, appearing as it were on the rudder of the Argo. The star cannot be seen at all in Greece, and therefore Aratus makes no mention of it in the Phaenomena. If one goes from the north to the south, the first place where it can be seen is at Rhodes, where it is seen on the horizon and then immediately sets as soon as the sky moves round. But when we sail 5,000 stades south from Rhodes and arrive at Alexandria, the star can be seen, at its greatest height, one quarter of a sign above the horizon, which is a forty-eighth of the whole zodiac. It is clear that this section of the meridian, the interval between Rhodes and Alexandria, is one forty-eighth of the whole meridian, because the horizon at Rhodes is offset from the horizon at Alexandria by one forty-eighth of the circle of the zodiac. And if the length of this section, along the surface of the earth, is accepted to be five thousand stades, then all the other sections along the meridian must be five thousand stades long. Therefore the largest circle around the earth is shown to be 240,000 stades long, if the distance from Rhodes to Alexandria is really 5,000 stades; but if it is not, the total will be wrong in proportion to whatever the difference is. That is Poseidonius’ method of calculating the size of the earth.
Tarefa
Tenha em conta a informação acima.
Considerando que a Terra é esférica e que Rodes e Alexandria se encontram no mesmo meridiano, investigue, na animação seguinte, outra suposição que eventualmente Possidónio terá admitido no seu raciocínio.
Justificando, comprove o valor encontrado por Possidónio para o comprimento da circunferência da Terra.
Pode deslocar o ponto A
Solução
Possidónio usa as seguintes principais premissas como hipóteses para a sua aproximação da medida da circunferência da Terra:
- As cidades Rodes e Alexandria estão no mesmo meridiano;
- A distância entre Rodes e Alexandria é de 5.000 estádios;
- A amplitude do ângulo de elevação de Canopus em Alexandria é \(7,5^\circ \), ou seja, \(\frac{1}{{48}}\) da amplitude de uma circunferência;
- A Terra é esférica.
Assumindo que a distância da Terra a Canopus é muito maior do que a distância entre Rodes e Alexandria, Possidónio admite \({\alpha _2} \approx {\alpha _1} = 7,5^\circ \), ainda que seja \({\alpha _2} < {\alpha _1}\).
Como as retas RO e AO são perpendiculares às retas RP e AP, respetivamente, então os ângulos desses dois pares de retas concorrentes são congruentes, isto é, \(\beta = {\alpha _2} = 7,5^\circ = \frac{{360^\circ }}{{48}}\).
Seja $c$ o comprimento do arco RA e $P$ o comprimento da circunferência da Terra.
Como o comprimento do arco RA é diretamente proporcional à amplitude do ângulo \(\beta \), temos:\[\frac{c}{P} = \frac{{\widehat \beta }}{{360^\circ }}\]
Substituindo os valores conhecidos na proporção estabelecida acima, vem:\[\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{5000}}{P} = \frac{{\frac{{360^\circ }}{{48}}}}{{360^\circ }}}& \Leftrightarrow &{\frac{{5000}}{P} = \frac{1}{{48}}}& \Leftrightarrow &{P = 240000}\end{array}\]
Portanto, Possidónio obteve 240.000 estádios para comprimento da circunferência da Terra.
Algumas observações
Este valor (240.000 estádios) é muito preciso, no entanto é obtido por causa de dois erros que se compensam. Ambos os valores utilizados por Possidónio no cálculo acima são imprecisos. Os 7 ° 30′ deve ser realmente 5° 15′, enquanto os 5.000 estádios entre Rodes e Alexandria estão também incorretos. Mais tarde, Ptolomeu informa-nos, através dos escritos de Cleomedes, que Possidónio usou 3.750 estádios, um valor mais preciso para a distância entre Rodes e Alexandria, mas manteve o valor muito impreciso de 7° 30′, tendo então obtido 180.000 estádios para o comprimento da circunferência da Terra, um valor que é efetivamente muito pequeno. Devemos notar, no entanto, que Taisbak tenta provar que a atribuição a Possidónio desse valor demasiado pequeno de 180 mil estádios é improcedente. Eratóstenes tinha obtido um valor muito mais preciso de 252.000 estádios, 150 anos antes de Possidónio.
Possidónio também fez cálculos do tamanho e da distância até à Lua, e do tamanho e da distância até ao Sol. As suas medições da Lua são imprecisas, em parte porque assume uma sombra cilíndrica em vez de cónica.
Quanto aos seus cálculos do Sol, Neugebauer escreve: As tentativas de Possidónio (de acordo com Cleomedes ) para determinar o tamanho do Sol são bastante ingénuas e é difícil de entender que sua astronomia não fosse ridicularizada por autores como Cícero e Plínio, que aceitam conhecer a obra de Hiparco.
Fontes:
- School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland: Posidonius of Rhodes
- Wikipédia – Posidonius
- New World Encyclopedia – Posidonius
- Hellenic World encyclopaedia – Earth Circumference Measurement by Posidonius
- The University of Chicago Press, The History of Science Society, by I. E. Drabkin – Posidonius and the circunference of the Earth
- Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society, Vol. 16, p.152, Irene Fisher – Another Look at Eratosthenes’and Posidonius’ Determinations of the Earth’s Circumference
- Encyclopædia Britannica – Poseidonius * Greek philosopher
