Um triângulo inscrito numa semicircunferência

1. O ângulo RPQ é reto, pois está inscrito num arco de semicircunferência. Logo, o triângulo [RPQ] é retângulo.
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2. Como $\overline {PR}  = \sqrt {{{\left( {2r} \right)}^2} – {x^2}}  = \sqrt {4{r^2} – {x^2}} $, então a área do triângulo pode ser expressa por: \[a\left( x \right) = \frac{{x\sqrt {4{r^2} – {x^2}} }}{2}\]
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3. Seja $\overline {PR}  = 2\overline {PQ}  = 2x = \sqrt {4{r^2} – {x^2}} $ e ${a\left( x \right) = 10}$.
   Assim, vem: \[\begin{array}{*{20}{l}}
   {a\left( x \right) = 10}& \Leftrightarrow &{\frac{{x \times 2x}}{2} = 10} \\
   {}& \Leftrightarrow &{x = \sqrt {10} }
   \end{array}\]
   Logo: \[r = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^2} + {{\left( {2\sqrt {10} } \right)}^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {10 + 40} }}{2} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\]
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4. Para $r = 5$, tem-se: \[a\left( x \right) = \frac{{x\sqrt {100 – {x^2}} }}{2}\]
   Recorrendo à calculadora gráfica, obtém-se:

   Admite-se, portanto, que é $25$ u.a. a  área máxima do triângulo.

Extensão:
Confirme que a área máxima é, de facto, $25$ e que o maximizante é $x = 5\sqrt 2 $ (situação em que o triângulo é retângulo isósceles), considerando que a derivada da função é definida por: \[a’\left( x \right) = \frac{{50 – {x^2}}}{{\sqrt {100 – {x^2}} }}\]