A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Tagged: 12.º Ano

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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Calcule

Definição axiomática e propriedades das probabilidades

Enunciado

Seja $\Omega $ o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.

Sejam A, B e C três acontecimentos ($A\subset \Omega $, $B\subset \Omega $ e $C\subset \Omega $) tais que $(A\cup B)\cap C=\left\{ {} \right\}$.

Sabe-se que $P(A)=0,21$ e que $P(C)=0,47$.

Calcule $P(A\cup C)$, utilizando as propriedades das operações com conjuntos e a axiomática das probabilidades.

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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Determine o valor de

Definição axiomática e propriedades das probabilidades

Enunciado

Seja $\Omega $ o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.

Sejam A e B dois acontecimentos ($A\subset \Omega $ e $B\subset \Omega $).

Sabe-se que A e B são acontecimentos independentes, que $P(B)=\frac{2}{3}$ e $P(A\cap B)=\frac{1}{2}$.

Determine o valor de $P(A\cup B)$. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

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12.º Ano / Probabilidades e combinatória / Aplicando

Mostre que é falsa a afirmação

Definição axiomática e propriedades das probabilidades

Enunciado

Seja S um espaço de resultados, finito, associado a uma experiência aleatória.

Mostre que é falsa a seguinte afirmação:

«Quaisquer que sejam os acontecimentos A e B, ($A\subset S$ e $B\subset S$), se $P(A)+P(B)=1$, então $A\cup B$ é um acontecimento certo.»

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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Ficha de Trabalho

12.º Ano: Definição axiomática e propriedades das probabilidades

Apresenta-se uma Ficha de Trabalho com exercícios e problemas relativos a Definição axiomática e Propriedades das probabilidades. A Ficha de Trabalho contém soluções. É também apresentada uma Proposta de Resolução.
Bom Trabalho!

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12.º Ano / Probabilidades e combinatória / Aplicando

A probabilidade de amanhã chover

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 172 Ex. 31

Enunciado

Segundo um especialista em meteorologia, a probabilidade de amanhã chover é três vezes maior do que a de estar enevoado e esta é dupla da de estar sol.

Supondo que existem apenas estas possibilidades, qual é, então, a probabilidade de amanhã chover?

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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Infetado por um vírus

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 171 Ex. 30

Enunciado

Sabe-se, por inquéritos médicos, que um indivíduo pertencente a uma determinada população tem probabilidade 0,01 de ser infetado por um vírus R e probabilidade 0,05 de ser contaminado pelo vírus S.

Sabendo que estas contaminações são independentes, quantos indivíduos contaminados encontramos (aproximadamente) por um, pelo menos, destes vírus, se escolhermos ao acaso uma amostra de 10.000 indivíduos desta população?

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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Numa escola secundária

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 171 Ex. 29

Enunciado

Numa Escola Secundária fez-se um estudo sobe o número de alunos do 12.º ano que se matricularam nas disciplinas de Física e de Química, tendo-se concluído que:

  • 30% dos alunos matricularam-se em ambas;
  • 20% dos alunos matricularam-se apenas em Física;
  • 40% dos alunos matricularam-se apenas em Química.
  1. Construa um diagrama de Venn para ilustrar a situação.
  2. Considere os acontecimentos F: “Matricular-se em Física” e Q: “Matricular-se em Química”.
    Determine a probabilidade de um desses alunos submetido ao
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Probabilidades e combinatória / Aplicando / 12.º Ano

Um quarto da população de uma vila foi vacinada

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 170 Ex. 28

Enunciado

Um quarto da população de uma vila foi vacinada contra uma dada doença.

No decorrer de uma epidemia constatou-se que em cada vinte doentes há três vacinados.

a)
A vacina é eficaz?

A Maria pensou e resolveu o problema. Infelizmente a folha da resposta apanhou chuva e não se percebem alguns passos.

Veja se concorda com o modo como a Maria resolveu o problema e complete os passos que faltam até chegar à conclusão.

Para testar a

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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Os habitantes de Vila Triste

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 170 Ex. 27

Enunciado

Sobre os habitantes de Vila Triste com mais de 40 anos, sabe-se que:

  • 40% são homens;
  • 30% são analfabetos;
  • um quinto dos homens são analfabetos.
  1. Mostre que a probabilidade do acontecimento “ser homem e não ser analfabeto” é 32%.
  2. Escolhendo ao acaso um habitante de Vila Triste, qual a probabilidade de:

    a) ser homem ou analfabeto?

    b) ser analfabeto dado que é mulher? (apresente o resultado em percentagem, arredondado às unidades.)

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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Prove que

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 170 Ex. 26

Enunciado

Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória e A e B ($B\ne \left\{ {} \right\}$) dois acontecimentos (A e B são, pois, subconjuntos de S).

Prove que:

  1. $P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A\cap B)$
  2. Se $P(A)>P(B)$, então $P(A|B)\ge P(B|A)$
  3. $P(A|B)+P(\overline{A}|B)=1$

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12.º Ano / Probabilidades e combinatória / Aplicando

Os funcionários de uma empresa

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 170 Ex. 25

Enunciado

60% dos funcionários de uma empresa são homens.

De acordo com um estudo feito, a direção estima que 30% dos seus funcionários e 20% das suas funcionárias, estão aptos para desempenhar uma determinada tarefa, que exige rigor e competência.

Escolhendo ao acaso um trabalhador desta empresa, qual é a probabilidade de:

  1. ser homem e estar apto para desempenhar a tarefa?
  2. ser  mulher e estar apta para desempenhar a tarefa?
  3. ser homem, dado que não está apto para
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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Jovens frequentadores de um ginásio

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 169 Ex. 24

Enunciado

Entre 80 jovens frequentadores de um ginásio, fez-se um inquérito sobre a prática de surf e registaram-se os resultados: vinte das trinta raparigas disseram que praticam surf e 30 rapazes disseram não ser praticantes de surf.

  1. Escolhendo um destes jovens ao acaso, qual é a probabilidade de:

    a) praticar surf e ser rapaz?

    b) ser rapariga, sabendo-se que faz surf?

  2. Mostre que, neste grupo do ginásio, praticar surf não é independente dos acontecimentos ser rapaz ou ser
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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Estudo de línguas estrangeiras (2)

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 169 Ex. 23

Enunciado

Numa turma, todos os alunos estudam duas, e só duas, línguas estrangeiras: ou Inglês (I) e Alemão (A) ou Inglês (I) e Espanhol (E).

  • 60% dos alunos da turma estudam Alemão;
  • 75% dos alunos da turma são raparigas;
  • metade dos alunos da turma de Espanhol são rapazes.
  1. Calcule a probabilidade dos acontecimentos:

    a) M: “o aluno é um rapaz”;

    b) E: “o aluno estuda Espanhol”;

    c) $F\cap A$: “o aluno é uma rapariga que estuda alemão”.

  2. Determine
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Probabilidades e combinatória / Aplicando / 12.º Ano

Estudo de línguas estrangeiras (1)

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 169 Ex. 22

Enunciado

Numa classe, todos os alunos estudam duas, e só duas, línguas estrangeiras: ou Inglês (I) e Alemão (A) ou Inglês (I) e Espanhol (E).

A repartição de alunos é a seguinte:

Caraterística FA MA FE ME
Efetivos 12 6 8 10

Em que M representa rapaz e F rapariga.

  1. Calcule a probabilidade dos acontecimentos:

    a) M: “o aluno é um rapaz”;

    b) E: “o aluno estuda Espanhol”;

    c) $F\cap A$: “o aluno é uma rapariga que estuda

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