Jovens frequentadores de um ginásio
Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 169 Ex. 24
Entre 80 jovens frequentadores de um ginásio, fez-se um inquérito sobre a prática de surf e registaram-se os resultados: vinte das trinta raparigas disseram que praticam surf e 30 rapazes disseram não ser praticantes de surf.
- Escolhendo um destes jovens ao acaso, qual é a probabilidade de:
a) praticar surf e ser rapaz?
b) ser rapariga, sabendo-se que faz surf?
- Mostre que, neste grupo do ginásio, praticar surf não é independente dos acontecimentos ser rapaz ou ser rapariga.
Sejam:
- M: “ser rapaz”;
- F: “ser rapariga”;
- S: “praticar surf”.
Sabe-se:
- Entre 80 jovens…;
- vinte das trinta raparigas disseram que praticam surf ;
- 30 rapazes disseram não ser praticantes de surf.
| F | M | Total | |
| S | 20 | 20 | 40 |
| $\overline{S}$ | 30 | ||
| Total | 30 | 50 | 80 |
- a)
“Praticar surf e ser rapaz”Comecemos por determinar $P(M)=1-P(F)=1-\frac{30}{80}=\frac{5}{8}$.
Assim, $\#M=50$ e, consequentemente:
$\#(M\cap S)=\#M-\#(M\cap \overline{S})=50-30=20$ e
$\#(S)=\#(S\cap F)+\#(S\cap M)=20+20=40$.Logo, \[\begin{array}{*{35}{l}}
P(M\cap S) & = & P(M)-P(M\cap \overline{S}) \\
{} & = & \frac{50}{80}-\frac{30}{80} \\
{} & = & \frac{1}{4} \\
\end{array}\]
pois os acontecimentos $(M\cap S)$ e $(M\cap \overline{S})$ são disjuntos.b)
“Ser rapariga, sabendo-se que faz surf”A probabilidade pedida é: \[\begin{array}{*{35}{l}}
P(F|S) & = & \frac{P(F\cap S)}{S} \\
{} & = & \frac{\frac{20}{80}}{\frac{40}{80}} \\
{} & = & \frac{1}{2} \\
\end{array}\]
- Já vimos, em 1.a), que $P(M\cap S)=\frac{1}{4}$.
Por outro lado, $P(M)\times P(S)=\frac{50}{80}\times \frac{40}{80}=\frac{5}{16}$.
Logo, os acontecimentos M e S não são independentes, pois $P(M\cap S)\ne P(M)\times P(S)$.Ora, $P(F\cap S)=\frac{20}{80}=\frac{1}{4}$.
Por outro lado, $P(F)\times P(S)=\frac{30}{80}\times \frac{40}{80}=\frac{3}{16}$.
Logo, os acontecimentos F e S não são independentes, pois $P(F\cap S)\ne P(M)\times P(S)$.
