Um quarto da população de uma vila foi vacinada
Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 170 Ex. 28
Um quarto da população de uma vila foi vacinada contra uma dada doença.
No decorrer de uma epidemia constatou-se que em cada vinte doentes há três vacinados.
a)
A vacina é eficaz?
A Maria pensou e resolveu o problema. Infelizmente a folha da resposta apanhou chuva e não se percebem alguns passos.
Veja se concorda com o modo como a Maria resolveu o problema e complete os passos que faltam até chegar à conclusão.
Para testar a eficácia da vacina devo comparar a probabilidade de estar doente com a probabilidade de estar doente se foi vacinado.
Vou designar por V o acontecimento “estar vacinado” e por D o acontecimento “estar doente”.Ora a probabilidade de estar vacinado é $P(V)=\frac{1}{4}$ e $P(V|D)=\frac{3}{20}$.
Então, $P(V|D)=……..=……\,P(…..)$.
Mas, $P(D\cap V)=……..=……\,P(…..)$.
Logo daqui resulta que $P(D|V)=4\times \frac{3}{20}P(D)=\frac{3}{5}\,…….$.
Isto é, $P(D|V)\,…….\,P(D)$, logo a vacina é eficaz.
b)
Aproveitando uma das igualdades anteriores e sabendo que, em cem pessoas vacinadas, oito estão doentes, determine a percentagem de doentes na população. Apresente o resultado aproximado às unidades.
a)
A vacina é eficaz?
Para testar a eficácia da vacina devo comparar a probabilidade de estar doente com a probabilidade de estar doente se foi vacinado.
Vou designar por V o acontecimento “estar vacinado” e por D o acontecimento “estar doente”.Ora a probabilidade de estar vacinado é $P(V)=\frac{1}{4}$ e $P(V|D)=\frac{3}{20}$.
Então, $P(V|D)=\frac{3}{20}=P(D\cap V)\div P(D)$ [$P(V|D)=……..=……\,P(…..)$].
Mas, $P(D\cap V)=P(V)\times P(D|V)=\frac{1}{4}\times P(D|V)$ [$P(D\cap V)=……..=……\,P(…..)$].
Logo daqui resulta que $P(D|V)=4\times \frac{3}{20}P(D)=\frac{3}{5}P(D)$ [$P(D|V)=4\times \frac{3}{20}P(D)=\frac{3}{5}\,…….$].
Isto é, $P(D|V)<P(D)$ [$P(D|V)\,…….\,P(D)$], logo a vacina é eficaz.
b)
Aproveitando uma das igualdades anteriores e sabendo que, em cem pessoas vacinadas, oito estão doentes, determine a percentagem de doentes na população. Apresente o resultado aproximado às unidades.
É dado que $P(D|V)=\frac{8}{100}$.
Da alínea anterior, sabe-se que $P(D|V)=\frac{3}{5}P(D)$.
Logo, temos: \[\begin{array}{*{35}{l}}
\frac{8}{100}=\frac{3}{5}P(D) & \Leftrightarrow & P(D)=\frac{40}{300} \\
{} & \Leftrightarrow & P(D)=\frac{2}{15} \\
\end{array}\]
Portanto, é cerca de 13% a percentagem de pessoas doentes na população.
