Calcule
Definição axiomática e propriedades das probabilidades
Seja $\Omega $ o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.
Sejam A, B e C três acontecimentos ($A\subset \Omega $, $B\subset \Omega $ e $C\subset \Omega $) tais que $(A\cup B)\cap C=\left\{ {} \right\}$.
Sabe-se que $P(A)=0,21$ e que $P(C)=0,47$.
Calcule $P(A\cup C)$, utilizando as propriedades das operações com conjuntos e a axiomática das probabilidades.
Sabe-se:
- $(A\cup B)\cap C=\left\{ {} \right\}$
- $P(A)=0,21$
- $P(C)=0,47$
Como é sabido, $P(A\cup C)=P(A)+P(C)-P(A\cap C)$ (1).
Aplicando a propriedade distributiva da interseção de conjuntos relativamente à reunião de conjuntos e tendo em conta que a reunião de dois conjuntos é vazia se, e só se, os dois conjuntos forem vazios, temos: \[\begin{array}{*{35}{l}}
(A\cup B)\cap C=\left\{ {} \right\} & \Leftrightarrow & (A\cap C)\cup (B\cap C)=\left\{ {} \right\} \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{matrix}
A\cap C=\left\{ {} \right\} & \wedge & B\cap C=\left\{ {} \right\} \\
\end{matrix} \\
\end{array}\]
Logo, sendo $A\cap C=\left\{ {} \right\}$, de (1), vem: \[\begin{array}{*{35}{l}}
P(A\cup C)=0,21+0,47-0 & \Leftrightarrow & P(A\cup C)=0,68 \\
\end{array}\]
