Estudo de línguas estrangeiras (2)
Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 169 Ex. 23
Numa turma, todos os alunos estudam duas, e só duas, línguas estrangeiras: ou Inglês (I) e Alemão (A) ou Inglês (I) e Espanhol (E).
- 60% dos alunos da turma estudam Alemão;
- 75% dos alunos da turma são raparigas;
- metade dos alunos da turma de Espanhol são rapazes.
- Calcule a probabilidade dos acontecimentos:
a) M: “o aluno é um rapaz”;
b) E: “o aluno estuda Espanhol”;
c) $F\cap A$: “o aluno é uma rapariga que estuda alemão”.
- Determine a probabilidade de interrogar:
a) um estudante de Alemão, sabendo que é rapariga;
b) uma rapariga, sabendo que estuda alemão.
- No corredor passamos por um rapaz da classe.
Qual é a probabilidade de ele estudar Espanhol?
- 60% dos alunos da turma estudam Alemão; → $P(A)=0,6$
- 75% dos alunos da turma são raparigas; → $P(F)=0,75$
- metade dos alunos da turma de Espanhol são rapazes. → $P(M|E)=0,5$
No sentido de facilitar a resolução do problema, vamos usar a tabela seguinte, onde se anotaram os dados, alguns dos valores calculados e foi feita a indicação da ordem de alguns cálculos no sentido da determinação de $P(F\cap A)$:
| M | F | Total | |
| A | (2) | (?) | 60% |
| E | (1) | 40% | |
| Total | 25% | 75% | 1 |
- a)
M: “o aluno é um rapaz”.A probabilidade pedida é $P(M)=1-P(F)=1-0,75=0,25$.
b)
E: “o aluno estuda Espanhol”.A probabilidade pedida é $P(E)=1-P(A)=1-0,6=0,4$.
c)
$F\cap A$: “o aluno é uma rapariga que estuda alemão”.Já que sabemos $P(M|E)=0,5$, podemos seguir a sequência (1), (2) e (?).
Ora, \[\begin{array}{*{35}{l}}
P(M\cap E) & = & P(E)\times P(M|E) & {} & (1) \\
{} & = & 0,4\times 0,5 & {} & {} \\
{} & = & 0,2 & {} & {} \\
\end{array}\]
e, como $P(M)=P((A\cap M)\cup (E\cap M))=P(A\cap M)+P(E\cap M)$, pois $(A\cap M)$ e $(E\cap M)$ são acontecimentos disjuntos, vem: \[\begin{array}{*{35}{l}}
P(A\cap M) & = & P(M)-P(E\cap M) & {} & (2) \\
{} & = & 0,25-0,2 & {} & {} \\
{} & = & 0,05 & {} & {} \\
\end{array}\]
Assim, considerando também que os acontecimentos $(F\cap A)$ e $(M\cap A)$ são disjuntos, temos: \[\begin{array}{*{35}{l}}
P(F\cap A) & = & P(A)-P(M\cap A) & {} & (?) \\
{} & = & 0,6-0,05 & {} & {} \\
{} & = & 0,55 & {} & {} \\
\end{array}\]
Portanto a probabilidade pedida é $P(F\cap A)=0,55$.
- a)
“um estudante de Alemão, sabendo que é rapariga”.A probabilidade pedida é: \[P(A|F)=\frac{P(A\cap F)}{P(F)}=\frac{0,55}{0,75}=\frac{11}{15}\]
b)
“uma rapariga, sabendo que estuda alemão”.A probabilidade pedida é: \[P(F|A)=\frac{P(A\cap F)}{P(A)}=\frac{0,55}{0,6}=\frac{11}{12}\]
- No corredor passamos por um rapaz da classe.
Qual é a probabilidade de ele estudar Espanhol?A probabilidade pedida é: \[P(E|M)=\frac{P(E\cap M)}{P(M)}=\frac{0,2}{0,25}=\frac{4}{5}\]
