Qual deve ser o valor?

Qual deve ser o valor de:

1. $m$, para que a equação $2{x^2} – 3mx + 2 = 0$ possua apenas uma raiz?

2. $n$, para que a equação ${x^2} – 6x + n – 4 = 0$ possua raízes reais?

3. $p$, para que a equação $\left( {2p + 1} \right){x^2} – 3x + 1 = 0$ não possua raízes reais?

4. $r$, para que a equação ${x^2} – 5x – r – 1 = 0$ tenha duas raízes reais diferentes?

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1. $$2{x^2} – 3mx + 2 = 0$$
   $$\begin{array}{*{20}{l}}
   \Delta & = &{{{\left( { – 3m} \right)}^2} – 4 \times 2 \times 2} \\
   {}& = &{9{m^2} – 16}
   \end{array}$$
   Para que a equação possua apenas uma raiz terá de ser $\Delta  = 0$.
   Logo, vem: $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {\Delta  = 0}& \Leftrightarrow &{9{m^2} – 16 = 0} \\
   {}& \Leftrightarrow &{{m^2} = \frac{{16}}{9}} \\
   {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
   {m =  – \frac{4}{3}}& \vee &{m = \frac{4}{3}}
   \end{array}}
   \end{array}$$
   ­
2. $${x^2} – 6x + n – 4 = 0$$
   $$\begin{array}{*{20}{l}}
   \Delta & = &{{{( – 6)}^2} – 4 \times 1 \times \left( {n – 4} \right)} \\
   {}& = &{52 – 4n}
   \end{array}$$
   Para que a equação possua raízes reais terá de ser $\Delta  \geqslant 0$.
   Logo, vem: $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {\Delta  \geqslant 0}& \Leftrightarrow &{52 – 4n \geqslant 0} \\
   {}& \Leftrightarrow &{4n \leqslant 52} \\
   {}& \Leftrightarrow &{n \leqslant 13}
   \end{array}$$
   ­
3. $$\left( {2p + 1} \right){x^2} – 3x + 1 = 0$$
   $$\begin{array}{*{20}{l}}
   \Delta & = &{{{( – 3)}^2} – 4 \times \left( {2p + 1} \right) \times 1} \\
   {}& = &{5 – 8p}
   \end{array}$$
   Para que a equação não possua raízes reais terá de ser $\Delta  < 0$.
   Logo, vem: $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {\Delta  < 0}& \Leftrightarrow &{5 – 8p < 0} \\
   {}& \Leftrightarrow &{8p > 5} \\
   {}& \Leftrightarrow &{p > \frac{5}{8}}
   \end{array}$$
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4. $${x^2} – 5x – r – 1 = 0$$
   $$\begin{array}{*{20}{l}}
   \Delta & = &{{{( – 5)}^2} – 4 \times 1 \times \left( { – r – 1} \right)} \\
   {}& = &{29 + 4r}
   \end{array}$$
   Para que a equação tenha duas raízes reais diferentes terá de ser $\Delta  > 0$.
   Logo, vem: $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {\Delta  > 0}& \Leftrightarrow &{29 + 4r > 0} \\
   {}& \Leftrightarrow &{r >  – \frac{{29}}{4}}
   \end{array}$$