Tagged: extremos relativos
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 224 Ex. 79
Enunciado
[ABCD] é um trapézio isósceles de área $5\sqrt 2 \,\,c{m^2}$.
Os ângulos agudos medem 45º.
Seja $x$ (em cm) a altura do trapézio e $P(x)$ o seu perímetro (em cm).
- Exprima $\overline {DH} $ e $\overline {CK} $ em função de $x$.
- Exprima $\overline {AD} $ e $\overline {BC} $ em função de $x$.
- Utilize a área do trapézio para exprimir $\overline {AB} $ em função de $x$.
- Mostre que $$P(x) = 2\sqrt 2 x + \frac{{10\sqrt
…
Ler mais
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 223 Ex. 75
Enunciado
Considere a parábola definida por $y = – {x^2} + 9$.
Supondo que a unidade adotada é o centímetro, determine as dimensões do retângulo [EFGH] de área máxima, sabendo que E e F são pontos da parábola e G e H são pontos do eixo das abcissas.
Resolução >>
Resolução
<< Enunciado…
Ler mais
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 222 Ex. 73
Enunciado
Num canto de um terreno murado pretende-se delimitar com uma trave de madeira a maior área de terreno possível.
Sabendo que a trave mede 5 metros, em que posição deve ser colocada?
Resolução >>
Resolução
Para $0 < x < 5$ e $0 < y < 5$, temos: $y = \sqrt {25 – {x^2}} $.
Logo, a área do terreno pode ser expressa por $$A(x) = \frac{{x\sqrt {25 – {x^2}} }}{2},{\text{com }}0 < x < 5$$
Ora, … Ler mais
11.º Ano: Ficha de Trabalho
Apresenta-se uma Ficha de Trabalho com problemas relativos à interpretação geométrica da taxa de variação, ao sinal da derivada e sentido de variação da função e à determinação de extremos relativos de uma função.
A Ficha de Trabalho contém soluções e ainda uma Proposta de Resolução.
Bom Trabalho!
Enunciado
Uma nova empresa de refrigerantes pretende lançar no mercado embalagens de sumo de fruta, com capacidade de dois litros.
Por questões de marketing, as embalagens deverão ter a forma de um prisma quadrangular regular.
- Mostre que a área total da embalagem, em dm2, é dada por \[A(x)=2{{x}^{2}}+\frac{8}{x}\]
(x é o comprimento da aresta da base, em dm)
Nota: Recorde que $1\ litro=1\ d{{m}^{3}}$.
- Utilizando métodos exclusivamente analíticos, mostre que existe um valor de x
…
Ler mais
Enunciado
Um objeto move-se ao longo de uma reta e a sua distância, em centímetros, a um ponto de referência fixo é dada em função do tempo t, em segundos, por \[\begin{matrix}
d\,(t)=2\,t+\frac{8}{t+1} & (t\ge 0) \\
\end{matrix}\]
Recorrendo exclusivamente a processos analíticos, resolva as três alíneas seguintes.
- Determine o período de tempo durante o qual o objeto distou do ponto de referência 15 cm ou menos.
- Prove que a taxa média de variação de d no intervalo
…
Ler mais
Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 199 Ex. 51
Enunciado
O triângulo [ABC] está inscrito num semicírculo de diâmetro 15 cm.
- Exprima a área de triângulo [ABC] em função do cateto de medida x.
- Determine um valor aproximado de x para o qual a área é máxima.
Qual é o valor dessa área?
Resolução >>
Resolução
<< Enunciado…
Ler mais
Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 198 Ex. 49
Enunciado
A densidade populacional (número de habitantes por unidade de área) de muitas cidades depende, grosseiramente, da distância ao centro da cidade.
Para uma determinada cidade, a densidade populacional P, em milhares de pessoas por km2, à distância de r quilómetros do centro, é dada, aproximadamente, por: \[P=5+30r-15{{r}^{2}}\]
- Qual é a densidade populacional no centro da cidade?
- Para que valores de r deixa definitivamente de ter significado a expressão dada?
- Encontre $\frac{dP}{dr}$ e calcule a taxa
…
Ler mais
Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 198 Ex. 48
Resolução
Uma folha retangular de metal com 20 cm de largura vai ser dobrada para se fabricarem caleiras, como mostra a figura.
Por onde devem ser feitas as dobragens para que a caleira transporte a maior quantidade possível de água?
Resolução >>
Resolução
<< Resolução…
Ler mais
Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 196 Ex. 44
Enunciado
Considere a função quadrática definida por $g(x)=3{{x}^{2}}+6x+5$.
- Resolva a equação $g'(x)=0$, determine as coordenadas do vértice da parábola gráfico de g e apresente um esboço desse gráfico.
- Use o gráfico construído em 1 para mostrar que a função polinomial $h:x\to {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+5x+7$ não tem extremos e, em seguida, esboce o gráfico de h.
Resolução >>
Resolução
<< Enunciado…
Ler mais
Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 196 Ex. 43
Enunciado
Lançou-se um foguete de fabrico artesanal. Devido a um defeito de fabrico, o foguete começa a perder altura, mas, em seguida, recupera e sobe de novo. A altura a (em metros) a que se encontra é dada, em função do tempo t decorrido (em segundos) após o seu lançamento, por: \[\begin{matrix}
a(t)={{t}^{3}}-9{{t}^{2}}+24t & (0\le t\le 7) \\
\end{matrix}\]
- Compare os valores da velocidade média nos intervalos [2, 5] e [2, 4]. A que se deverá tal discrepância?
…
Ler mais
Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 195 Ex. 41
Enunciado
- Desenhe os gráficos das funções: $f:x\to {{x}^{3}}-12x+2$ e $g:x\to {{x}^{3}}$.
Considerando o retângulo de visualização [-100, 100] por [-500, 500], pronuncie-se sobre o comportamento das duas funções para valores muito grandes de $\left| x \right|$.
- Resolva as equações $\frac{df}{dx}=0$ e $\frac{dg}{dx}=0$ e procure os extremos relativos de cada uma das funções.
- Pelos gráficos observados na alínea 1, esperava encontrar os resultados da alínea anterior?
- Estude o gráfico das funções no retângulo de visualização [-4, 4] por [-20,
…
Ler mais
