A área de um triângulo
Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 199 Ex. 51
Enunciado
O triângulo [ABC] está inscrito num semicírculo de diâmetro 15 cm.
- Exprima a área de triângulo [ABC] em função do cateto de medida x.
- Determine um valor aproximado de x para o qual a área é máxima.
Qual é o valor dessa área?
Resolução
-
Admitindo que o cateto de medida x é [BC], temos $\overline{AC}=\sqrt{{{\overline{AB}}^{2}}-{{\overline{BC}}^{2}}}=\sqrt{{{15}^{2}}-{{x}^{2}}}$, com $0<x<15$.
Assim, a área do triângulo [ABC], em centímetros quadrados, pode ser expressa por: \[\begin{matrix}
a(x)=\frac{x\sqrt{225-{{x}^{2}}}}{2} & (0<x<15) \\
\end{matrix}\]- Dado que é complexa a obtenção da expressão da derivada da função a ($a'(x)=\frac{225-2{{x}^{2}}}{2\sqrt{225-{{x}^{2}}}}$), vamos resolver a questão com auxílio da calculadora gráfica.
A área máxima é $56,25\,c{{m}^{2}}$, obtida para $x\approx 10,6\,cm$ (o valor exacto é $\frac{15\sqrt{2}}{2}$).
Interprete a tabela apresentada a seguir:
Utilizando a expressão $a'(x)=\frac{225-2{{x}^{2}}}{2\sqrt{225-{{x}^{2}}}}$, obtém-se:
| $x$ | $0$ | $\frac{15\sqrt{2}}{2}$ | $15$ | ||
| $225-2{{x}^{2}}$ | + | + | $0$ | – | – |
| $2\sqrt{225-{{x}^{2}}}$ | + | + | + | + | $0$ |
| $a'(x)=\frac{225-2{{x}^{2}}}{2\sqrt{225-{{x}^{2}}}}$ | n.d. | + | $0$ | – | n.d. |
| $a(x)$ | n.d. | $\nearrow $ | $56,25$ | $\searrow $ | n.d. |
