Lançou-se um foguete de fabrico artesanal
Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 196 Ex. 43
Lançou-se um foguete de fabrico artesanal. Devido a um defeito de fabrico, o foguete começa a perder altura, mas, em seguida, recupera e sobe de novo. A altura a (em metros) a que se encontra é dada, em função do tempo t decorrido (em segundos) após o seu lançamento, por: \[\begin{matrix}
a(t)={{t}^{3}}-9{{t}^{2}}+24t & (0\le t\le 7) \\
\end{matrix}\]
- Compare os valores da velocidade média nos intervalos [2, 5] e [2, 4]. A que se deverá tal discrepância?
- Determine o valor da velocidade no momento em que partiu e nos instantes $t=1$ e $t=7$.
- Indique os intervalos de tempo em que o foguete subiu e aqueles em que desceu.
- \[tm{{v}_{\left[ 2,5 \right]}}=\frac{a(5)-a(2)}{5-2}=\frac{(125-225+120)-(8-36+48)}{3}=\frac{20-20}{3}=0\]
\[tm{{v}_{\left[ 2,4 \right]}}=\frac{a(4)-a(2)}{4-2}=\frac{(64-144+96)-(8-36+48)}{2}=\frac{16-20}{2}=-2\]No intervalo [2, 5], a velocidade média é de $0\,m/s$, enquanto que no intervalo [2,4] é de $-2\,m/s$.
No período de tempo em que o foguete perde altura, a sua velocidade é negativa. Daí a razão para os valores encontrados para as velocidades médias nesses intervalos de tempo. - Ora, $\begin{matrix}
a'(t)=3{{t}^{2}}-18t+24 & (0\le t\le 7) \\
\end{matrix}$.Logo, $a'(0)=24$, $a'(1)=3-18+24=9$ e $a'(7)=147-126+24=45$.
Portanto, a velocidade nos instantes considerados é, respetivamente, $24\,m/s$, $9\,m/s$ e $45\,m/s$.
- Como \[\begin{array}{*{35}{l}}
a'(t)=0 & \Leftrightarrow & 3{{t}^{2}}-18t+24=0\wedge 0\le t\le 7 \\
{} & \Leftrightarrow & {{t}^{2}}-6t+8=0\wedge 0\le t\le 7 \\
{} & \Leftrightarrow & (t=2\vee t=4)\wedge 0\le t\le 7 \\
{} & \Leftrightarrow & t=2\vee t=4 \\
\end{array}\]
temos:$t$ $0$ $2$ $4$ $7$ $a'(t)$ $24$ + $0$ – $0$ + $45$ $a(t)$ $0$ $\nearrow $ $20$ $\searrow $ $16$ $\nearrow $ $70$ O foguete subiu durante os primeiros 2 segundos, até atingir 20 metros de altura. Depois, desce um pouco, até aos 14 metros de altura, começando a subir de novo a partir dos 4 segundos, atingindo a altura de 70 metros ao fim de 7 segundos.
