Desenhe os gráficos das funções

by AMMA · Published 19 de Março de 2011 · Updated 11 de Janeiro de 2022

Enunciado

Desenhe os gráficos das funções: $f:x\to {{x}^{3}}-12x+2$ e $g:x\to {{x}^{3}}$.
Considerando o retângulo de visualização [-100, 100] por [-500, 500], pronuncie-se sobre o comportamento das duas funções para valores muito grandes de $\left| x \right|$.
Resolva as equações $\frac{df}{dx}=0$ e $\frac{dg}{dx}=0$ e procure os extremos relativos de cada uma das funções.
Pelos gráficos observados na alínea 1, esperava encontrar os resultados da alínea anterior?
Estude o gráfico das funções no retângulo de visualização [-4, 4] por [-20, 20] e elabore um relatório com o registo das suas observações.

Resolução

Quando $x\to -\infty $, $f(x)\to -\infty $ e $g(x)\to -\infty $; quando $x\to +\infty $, $f(x)\to +\infty $ e $g(x)\to +\infty $.
Ora,
\[\begin{array}{*{35}{l}}
\frac{df}{dx}=0 & \Leftrightarrow & 3{{x}^{2}}-12=0 \\
{} & \Leftrightarrow & {{x}^{2}}=4 \\
{} & \Leftrightarrow & x=-2\vee x=2 \\
\end{array}\]

$x$ $-\infty $ $-2$ $2$ $+\infty $

$f'(x)$ + $0$ – $0$ +

$f(x)$ $\nearrow $ $18$ $\searrow $ $-14$ $\nearrow $

A função f admite 18 como máximo relativo (para $x=-2$) e $-14$ como mínimo relativo ($x=2$).

\[\begin{array}{*{35}{l}}
\frac{dg}{dx}=0 & \Leftrightarrow & 3{{x}^{2}}=0 \\
{} & \Leftrightarrow & x=0 \\
\end{array}\]

$x$ $-\infty $ $0$ $+\infty $

$g'(x)$ + $0$ +

$g(x)$ $\nearrow $ $0$ $\nearrow $

A função g não possui extremos.
Os gráficos observados na alínea 1 não levavam a supor a existência de extremos relativamente à função f ou, caso esta os admitisse, também a função g seria de admitir que os tivesse.
A função f é estritamente crescente em $\left] -\infty ,-2 \right[$ e em $\left] 2,+\infty \right[$; é estritamente decrescente em $\left] -2,2 \right[$.
A função f admite 18 como máximo relativo (para $x=-2$) e $-14$ como mínimo relativo (para $x=2$).

A função g é estritamente crescente, por isso não admite extremos relativos.