A densidade populacional

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 198 Ex. 49

by AMMA · Published 22 de Março de 2011 · Updated 24 de Janeiro de 2022

Enunciado

A densidade populacional (número de habitantes por unidade de área) de muitas cidades depende, grosseiramente, da distância ao centro da cidade.

Para uma determinada cidade, a densidade populacional P, em milhares de pessoas por km², à distância de r quilómetros do centro, é dada, aproximadamente, por: \[P=5+30r-15{{r}^{2}}\]

Qual é a densidade populacional no centro da cidade?
Para que valores de r deixa definitivamente de ter significado a expressão dada?
Encontre $\frac{dP}{dr}$ e calcule a taxa de variação da função para o raio de 0,5 km, 1 km e 2 km a partir do centro da cidade.
Esboce o gráfico de P e o gráfico de $\frac{dP}{dr}$ e use-os para descrever, por palavras, como varia a densidade populacional com a distância ao centro.
Qual é a densidade populacional máxima?
Qual o valor da taxa de variação da densidade populacional para esse raio?

Resolução

Como $P(0)=5+30\times 0-15\times 0=5$, a densidade populacional no centro da cidade é 5 milhares de pessoas por km² de área.
Ora, \[\begin{array}{*{35}{l}}
5+30r-15{{r}^{2}}=0 & \Leftrightarrow & 3{{r}^{3}}-6r-1=0 \\
{} & \Leftrightarrow & r=\frac{6\mp \sqrt{36+12}}{6} \\
{} & \Leftrightarrow & r=\frac{6\mp 4\sqrt{3}}{6} \\
{} & \Leftrightarrow & r=1-\frac{2\sqrt{3}}{3}\vee r=1+\frac{2\sqrt{3}}{3} \\
\end{array}\]

A função P está definida para $r\ge 0$. Como para $r>1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$ se tem $P<0$ (Porquê?), a expressão dada deixa de ter significado para valores superiores a $1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$, cujo valor aproximado ao metro, por defeito, é 2154.
Ora, $\frac{dP}{dr}=(5+30r-15{{r}^{2}})’=30-30r$, para $0\le r\le 1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Os valores pedidos são, respectivamente, $P'(0,5)=15$, $P'(1)=0$ e $P'(2)=-30$, em milhares de pessoas por km²de área, por km.
Para valores do raio entre 0 e 1 km, a densidade populacional aumenta, atingindo o valor máximo (20 mil pessoas por km² de área) para o raio de 1 km; quando o raio varia no intervalo $\left] 1,1+\frac{2\sqrt{3}}{3} \right[$, a densidade populacional diminui.
A densidade populacional máxima é 20 mil pessoas por km² de área, para r igual a 1 km.
Para esse raio (1 km), a taxa de variação da densidade populacional é nula.