Um objecto move-se ao longo de uma reta
Um objeto move-se ao longo de uma reta e a sua distância, em centímetros, a um ponto de referência fixo é dada em função do tempo t, em segundos, por \[\begin{matrix}
d\,(t)=2\,t+\frac{8}{t+1} & (t\ge 0) \\
\end{matrix}\]
Recorrendo exclusivamente a processos analíticos, resolva as três alíneas seguintes.
- Determine o período de tempo durante o qual o objeto distou do ponto de referência 15 cm ou menos.
- Prove que a taxa média de variação de d no intervalo $\left[ 1,\ 3 \right]$ é 1.
Interprete este valor no contexto da situação descrita. - Sabe-se que \[d’(t)=2-\frac{8}{{{(t+1)}^{2}}}=\frac{2\,(t-1)(t+3)}{{{(t+1)}^{2}}}\] (d’ designa a derivada de d)
Verifique se a função d tem um mínimo absoluto e, em caso afirmativo, determine-o.
- Ora, \[\begin{array}{*{35}{l}}
2\,t+\frac{8}{t+1}\le 15 & \Leftrightarrow & 2\,t+\frac{8}{t+1}-15\le 0 \\
{} & \Leftrightarrow & \frac{2\,{{t}^{2}}+2\,t+8-15\,t-15}{t+1} \\
{} & \Leftrightarrow & \frac{2\,{{t}^{2}}-13\,t-7}{t+1}\le 0 \\
\end{array}\le 0\]Como \[\begin{array}{*{35}{l}}
2{{t}^{2}}-13t-7=0 & \Leftrightarrow & t=\frac{13\mp \sqrt{169+56}}{4} \\
{} & \Leftrightarrow & t=\frac{13\mp 15}{4} \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{matrix}
t=7 & \vee & t=-0,5 \\
\end{matrix} \\
\end{array}\]vem:$t$ $0$ $7$ $+\infty $ $2\,{{t}^{2}}-13\,t-7$ – – $0$ + $t+1$ + + + + $\tfrac{2{{t}^{2}}-13t-7}{t+1}$ – – $0$ + Portanto, durante os primeiros 7 segundos, o objeto distou do ponto de referência 15 cm ou menos.
- Ora, \[tm{{v}_{\left[ 1,\ 3 \right]}}=\frac{d(3)-d(1)}{3-1}=\frac{(6+\tfrac{8}{4})-(2+\tfrac{8}{2})}{2}=1\]
A distância do objeto ao ponto de referência aumentou, em média, 1 centímetro por segundo, entre os instantes $t=1$ e $t=3$ (entre o primeiro e o terceiro segundos de observação).
- Tendo em consideração as propriedades da função quadrática e reparando que ${{(t+1)}^{2}}>0\,,\ \forall t\in \mathbb{R}_{0}^{+}$, temos:
$t$ $0$ $1$ $+\infty $ $d’(t)=\tfrac{2\,(t-1)(t+3)}{{{(t+1)}^{2}}}$ – – $0$ + $d(t)$ $8$ $\searrow $ $6$ $\nearrow $ Confirma-se que a função d tem um mínimo absoluto, que é igual a $d(1)=2\times 1+\frac{8}{1+1}=6$.
Seja ${{t}_{0}}\in \mathbb{R}_{0}^{+}$ e $h\ne 0$.
\[\begin{array}{*{35}{l}}
\frac{d({{t}_{0}}+h)-d({{t}_{0}})}{h} & = & \frac{2({{t}_{0}}+h)+\frac{8}{{{t}_{0}}+h+1}-2{{t}_{0}}-\frac{8}{{{t}_{0}}+1}}{h} \\
{} & = & \frac{2h+\frac{8}{{{t}_{0}}+h+1}-\frac{8}{{{t}_{0}}+1}}{h} \\
{} & = & 2+\frac{\frac{8{{t}_{0}}+8-8{{t}_{0}}-8h-8}{({{t}_{0}}+h+1)({{t}_{0}}+1)}}{h} \\
{} & = & 2-\frac{8h}{h({{t}_{0}}+h+1)({{t}_{0}}+1)} \\
{} & = & 2-\frac{8}{({{t}_{0}}+h+1)({{t}_{0}}+1)} \\
\end{array}\]
Quando $h\to 0$, $\frac{d({{t}_{0}}+h)-d({{t}_{0}})}{h}\to 2-\frac{8}{{{({{t}_{0}}+1)}^{2}}}$.
Logo, \[d’(t)=2-\frac{8}{{{(t+1)}^{2}}}=\frac{2{{(t+1)}^{2}}-8}{{{(t+1)}^{2}}}=2\times \frac{{{(t+1)}^{2}}-{{2}^{2}}}{{{(t+1)}^{2}}}=2\times \frac{(t+1-2)(t+1+2)}{{{(t+1)}^{2}}}=\frac{2(t-1)(t+3)}{{{(t+1)}^{2}}}\]
