Uma trave de madeira
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 222 Ex. 73
Num canto de um terreno murado pretende-se delimitar com uma trave de madeira a maior área de terreno possível.
Sabendo que a trave mede 5 metros, em que posição deve ser colocada?
Para $0 < x < 5$ e $0 < y < 5$, temos: $y = \sqrt {25 – {x^2}} $.
Logo, a área do terreno pode ser expressa por $$A(x) = \frac{{x\sqrt {25 – {x^2}} }}{2},{\text{com }}0 < x < 5$$
Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
{A'(x)}& = &{{{\left( {\frac{{x\sqrt {25 – {x^2}} }}{2}} \right)}^’}} \\
{}& = &{\frac{1}{2}\sqrt {25 – {x^2}} + \frac{1}{2} \times x \times \frac{1}{2}{{\left( {25 – {x^2}} \right)}^{ – \frac{1}{2}}} \times \left( { – 2x} \right)} \\
{}& = &{\frac{{\sqrt {25 – {x^2}} }}{2} – \frac{{{x^2}}}{{2\sqrt {25 – {x^2}} }}} \\
{}& = &{\frac{{25 – {x^2} – {x^2}}}{{2\sqrt {25 – {x^2}} }}} \\
{}& = &{\frac{{25 – 2{x^2}}}{{2\sqrt {25 – {x^2}} }}}
\end{array}$$
Como $25 – 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{25}}{2} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {\frac{{25}}{2}} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{5\sqrt 2 }}{2}$, temos:
| $x$ | $0$ | $\frac{{5\sqrt 2 }}{2}$ | $5$ | ||
| ${25 – 2{x^2}}$ | $+$ | $0$ | $-$ | ||
| ${2\sqrt {25 – {x^2}} }$ | $+$ | $+$ | $+$ | ||
| Sinal de $A'(x) = \frac{{25 – 2{x^2}}}{{2\sqrt {25 – {x^2}} }}$ | $+$ | $0$ | $-$ | ||
| Variação de $A$ | $ \nearrow $ | $\frac{{25}}{4}$ | $ \searrow $ |
$$A(\frac{{5\sqrt 2 }}{2}) = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} \times \frac{{\sqrt {25 – \frac{{25}}{2}} }}{2} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} \times \frac{5}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{25}}{4}$$
Portanto, a trave deve ser colocada de forma a obter um triângulo retângulo isósceles: $x = y = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}$ metros.
