Um trapézio isósceles
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 224 Ex. 79
Enunciado
[ABCD] é um trapézio isósceles de área $5\sqrt 2 \,\,c{m^2}$.
Os ângulos agudos medem 45º.
Seja $x$ (em cm) a altura do trapézio e $P(x)$ o seu perímetro (em cm).
- Exprima $\overline {DH} $ e $\overline {CK} $ em função de $x$.
- Exprima $\overline {AD} $ e $\overline {BC} $ em função de $x$.
- Utilize a área do trapézio para exprimir $\overline {AB} $ em função de $x$.
- Mostre que $$P(x) = 2\sqrt 2 x + \frac{{10\sqrt 2 }}{x}$$
- Encontre o valor de $x$ para o qual o perímetro do trapézio é mínimo.
Qual é então a medida dos lados do trapézio? Interprete graficamente.
Resolução
Como os triângulos [ADH] e [BCK] são retângulos isósceles, temos: $\overline {DH} = \overline {AK} = x$ e $\overline {CK} = \overline {AK} = x$, com $x > 0$.
- Aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos referidos anteriormente, vem: $\overline {AD} = \overline {BC} = x\sqrt 2 $.
- Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
{{A_{[ABCD]}} = 5\sqrt 2 }& \Leftrightarrow &{\frac{{\overline {CD} + \overline {AB} }}{2} \times \overline {AH} = 5\sqrt 2 } \\
{}& \Leftrightarrow &{\frac{{\left( {\overline {AB} + 2x} \right) + \overline {AB} }}{2} \times x = 5\sqrt 2 } \\
{}& \Leftrightarrow &{\left( {\overline {AB} + x} \right)x = 5\sqrt 2 } \\
{}& \Leftrightarrow &{\overline {AB} = \frac{{5\sqrt 2 – {x^2}}}{x}}
\end{array}$$
Como $\overline {AB} > 0$, então $x > 0 \wedge 5\sqrt 2 – {x^2} > 0 \Leftrightarrow x > 0 \wedge x < \sqrt[4]{{50}}$.
- O perímetro do trapézio pode ser expresso por: $$\begin{array}{*{20}{l}}
{P(x)}& = &{2\left( {\overline {AB} + \overline {DH} + \overline {AD} } \right)} \\
{}& = &{2\left( {\frac{{5\sqrt 2 – {x^2}}}{x} + x + x\sqrt 2 } \right)} \\
{}& = &{2\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{x} – x + x + x\sqrt 2 } \right)} \\
{}& = &{2\sqrt 2 x + \frac{{10\sqrt 2 }}{x}}
\end{array}$$ com $0 < x < \sqrt[4]{{50}}$.
- Como \[\begin{array}{*{20}{l}}
{P’\left( x \right)}& = &{{{\left( {2\sqrt 2 x + \frac{{10\sqrt 2 }}{x}} \right)}^\prime }} \\
{}& = &{2\sqrt 2 – \frac{{10\sqrt 2 }}{{{x^2}}}} \\
{}& = &{2\sqrt 2 \times \frac{{{x^2} – 5}}{{{x^2}}}}
\end{array}\] temos:$x$ $0$ $\sqrt 5 $ $\sqrt[4]{{50}}$ Sinal de $P'(x) = 2\sqrt 2 \times \frac{{{x^2} – 5}}{{{x^2}}}$ $-$ $0$ $+$ Variação de $P$ $ \searrow $ $4\sqrt {10} $ $ \nearrow $ $$P(\sqrt 5 ) = 2\sqrt 2 \times \sqrt 5 + \frac{{10\sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }} = 2\sqrt {10} + 2\sqrt {10} = 4\sqrt {10} $$
O perímetro do trapézio é mínimo para $x = \sqrt 5 $ centímetros.
Nessa situação, temos:
$$\overline {AD} = \overline {BC} = \sqrt 5 \times \sqrt 2 = \sqrt {10} $$
$$\overline {AB} = \frac{{5\sqrt 2 – {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{5\sqrt {10} – 5\sqrt 5 }}{5} = \sqrt {10} – \sqrt 5 $$
$$\overline {CD} = \overline {AB} + 2\sqrt 5 = \sqrt {10} – \sqrt 5 + 2\sqrt 5 = \sqrt {10} + \sqrt 5 $$
em centímetros.
