Dimensões de um triângulo de área máxima
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 223 Ex. 75
Considere a parábola definida por $y = – {x^2} + 9$.
Supondo que a unidade adotada é o centímetro, determine as dimensões do retângulo [EFGH] de área máxima, sabendo que E e F são pontos da parábola e G e H são pontos do eixo das abcissas.
Considere a parábola definida por $$y = – {x^2} + 9$$
A área do retângulo [EFGH] é dada, com $0 < x < 3$, por: $$\begin{array}{*{20}{l}}
{A(x)}& = &{2 \times \overline {OH} \times \overline {HE} } \\
{}& = &{2 \times x \times \left( { – {x^2} + 9} \right)} \\
{}& = &{2x\left( {9 – {x^2}} \right)}
\end{array}$$
Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
{A'(x)}& = &{\left( {2x\left( {9 – {x^2}} \right)} \right)’} \\
{}& = &{\left( {18x – 2{x^3}} \right)’} \\
{}& = &{18 – 6{x^2}}
\end{array}$$
Como $18 – 6{x^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 $, temos:
| $x$ | $0$ | $\sqrt 3 $ | $3$ | ||
| Sinal de $A'(x) = 18 – 6{x^2}$ | $+$ | $0$ | $-$ | ||
| Variação de $A$ | $ \nearrow $ | $12\sqrt 3 $ | $ \searrow $ |
$$A(\sqrt 3 ) = 2\sqrt 3 \left( {9 – {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} \right) = 12\sqrt 3 $$
A área do retângulo é máxima para $x = \sqrt 3 $.
Logo, as dimensões do retângulo de área máxima são: $\overline {EF} = 2\sqrt 3 $ e $\overline {EH} = – {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + 9 = 6$, em centímetros.
