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Seja $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ um referencial o.n. do espaço.

A figura representa um cubo [ABCDEFGH] de centro O e aresta 2 cm, sendo as arestas [AD] e [DC] paralelas a Ox e Oy, respetivamente.

Os pontos I, J, K, L, M, N, P e Q são pontos médios das arestas.

1. Determine as coordenadas dos pontos anteriormente referidos.
2. Indique as coordenadas dos pontos simétricos de K, G e E em relação a J.
3. Defina, por uma condição, o plano da

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No referencial o.n. $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ está representado o cubo [ABCDEFGH].

$BF\parallel OZ$ e as coordenadas dos vértices opostos B e H são, respetivamente, $(0,-3,3)$ e $(4,1,-1)$.

1. Quais são as coordenadas dos outros vértices do cubo?
2. Escreva uma equação da reta DG.
3. Determine uma equação da reta que passa por H e é paralela a GB.
4. Escreva uma equação do plano que contém a face [ABCD].
5. Considere o lugar geométrico definido pelo cubo e escreva uma condição que o

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[ABCDEFGH] é um cubo.

Os pontos A, E, F e H têm por coordenadas, respetivamente, $(1,1,3)$, $(1,1,1)$, $(1,3,1)$ e $(-1,1,1)$.

1. Calcule as coordenadas dos restantes vértices.
2. Escreva uma equação do plano AEC.
3. Escreva equações cartesianas das retas BF e EC.

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Considere no referencial o.n. do espaço (Oxyz), a pirâmide quadrangular regular de vértice V e base [ABCO], assente no plano xOy.

Sabendo que a pirâmide tem 5 unidades de altura e que C (0,4,0):

1. determine $\alpha $ de modo que $(3\alpha ,\alpha +2,1-\alpha )$ pertença ao plano VBC;
2. determine o ângulo das retas VB e VC;
3. supondo que a unidade considerada é o centímetro, determine a área total da pirâmide.

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Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um octaedro [ABCDEF].

Sabe-se que:

• O vértice B tem coordenadas (1,0,1).
• O vértice E tem coordenadas (0,1,1).
• O vértice F pertence ao plano xOy.
• O vértice A tem coordenadas (1,1,2).

1. Mostre que a reta definida pela condição $x=y=z$ é perpendicular ao plano ACD.
2. Determine uma equação da superfície esférica que contém os seis vértices do octaedro.
3. Seja $\alpha $ o plano definido pelo eixo Oz e pelo ponto A.

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Considere o plano de equação $x-y+z-3=0$ e a reta que passa por $A\,(1,1,1)$ e tem a direção do vetor $\vec{u}\,(1,-1,1)$ .

1. Qual a posição relativa da reta em relação ao plano? Justifique.
2. Determine o ponto de intersecção da reta com o plano.

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Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular.

A base da pirâmide está contida no plano de equação $z=4$.

• O vértice A pertence ao eixo Oz.
• O vértice B pertence ao plano yOz.
• O vértice D pertence ao plano xOz.
• O vértice C tem coordenadas $(4,4,4)$.
• A altura da pirâmide é 6.

1. Mostre que uma condição que define a reta DE é $x-4=-y=\frac{z-4}{3}$.
2. Determine uma equação do plano que passa no ponto B

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Seja um referencial ortonormado $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.

Dados os pontos $A\,(2,3,-1)$ e $B\,(2,-1,4)$ e o vetor $\vec{u}\,(1,4,-2)$ , determine:

1. uma equação vetorial da reta que passa em A e é paralela a ${\vec{u}}$ ;
2. equações cartesianas da reta que passa em A e tem a direção de ${\vec{u}}$ ;
3. equações cartesianas da reta AB.

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A figura representa uma escada com três degraus em madeira.

Sabe-se que a largura da escada é 80 cm e que se gasta 1m² de madeira para a construir [parte colorida].

Sabendo que o ângulo α é tal que $tg\,\alpha =\frac{3}{4}$, determine x, p e h com aproximação ao centímetro, por excesso.

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