Posição de uma reta em relação a um plano

Considere o plano de equação $x-y+z-3=0$ e a reta que passa por $A\,(1,1,1)$ e tem a direção do vetor $\vec{u}\,(1,-1,1)$ .

1. Qual a posição relativa da reta em relação ao plano? Justifique.

2. Determine o ponto de intersecção da reta com o plano.

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1. Um vetor normal ao plano é $\vec{n}\,(1,-1,1)$.  (As coordenadas deste vetor normal ao plano são os coeficientes de x, y e z, respetivamente, da equação do plano.)

   Ora, os vetores ${\vec{u}}$  e ${\vec{n}}$  são colineares. Logo, a reta é perpendicular ao plano.
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2. Uma equação cartesiana da reta é $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{1}$.
   Resolvendo o sistema, temos:
   \[\begin{array}{*{35}{l}}
   \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
   x-y+z-3=0  \\
   \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{1}  \\
   \end{array} \right. & \Leftrightarrow  & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
   x-y+z=3  \\
   -x+1=y-1  \\
   x-1=z-1  \\
   \end{array} \right. & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{r}}
   (+) & (+)  \\
   {} & (1\times )  \\
   (-1\times ) & {}  \\
   \end{array}\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
   x-y+z=3  \\
   -x-y=-2  \\
   x-z=0  \\
   \end{array} \right. & \Leftrightarrow   \\
   {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{r}}
   {}  \\
   (+)  \\
   (-2\times )  \\
   \end{array}\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
   x-y+z=3  \\
   -2y+z=1  \\
   -y+2z=3  \\
   \end{array} \right. & \Leftrightarrow  & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
   x-y+z=3  \\
   -2y+z=1  \\
   -3z=-5  \\
   \end{array} \right. & \Leftrightarrow   \\
   {} & \Leftrightarrow  & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
   x=y-\frac{5}{3}+3  \\
   y=\frac{1-\frac{5}{3}}{-2}  \\
   z=\frac{5}{3}  \\
   \end{array} \right. & \Leftrightarrow  & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
   x=\frac{5}{3}  \\
   y=\frac{1}{3}  \\
   z=\frac{5}{3}  \\
   \end{array} \right. & {}  \\
   \end{array}\]
   O ponto de intersecção da reta com o plano tem coordenadas \((\frac{5}{3},\frac{1}{3},\frac{5}{3})\).