Uma pirâmide quadrangular regular
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 185 Ex. 47
Considere no referencial o.n. do espaço (Oxyz), a pirâmide quadrangular regular de vértice V e base [ABCO], assente no plano xOy.
Sabendo que a pirâmide tem 5 unidades de altura e que C (0,4,0):
- determine $\alpha $ de modo que $(3\alpha ,\alpha +2,1-\alpha )$ pertença ao plano VBC;
- determine o ângulo das retas VB e VC;
- supondo que a unidade considerada é o centímetro, determine a área total da pirâmide.
- Ora, $A\,(4,0,0)$, $B\,(4,4,0)$, $C\,(0,4,0)$ e $V\,(2,2,5)$.
Logo, $\overrightarrow{VB}=(2,2,-5)$ e $\overrightarrow{VC}=(-2,2,-5)$.
Seja $\vec{n}\,(a,b,c)$ um vetor genérico perpendicular aos vetores anteriores. Assim, vem:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
(a,b,c).(2,2,-5)=0 \\
(a,b,c).(-2,2,-5)=0 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
2a+2b-5c=0 \\
-2a+2b-5c=0 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
2a+2b-5c=0 \\
4b-10c=0 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow \\
{} & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a=\frac{5c-2b}{2} \\
b=\frac{5}{2}c \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a=0 \\
b=\frac{5}{2}c \\
\end{array} \right. & {} \\
\end{array}\]
Portanto, $\overrightarrow{{{n}_{1}}}(0,5,2)$ é um vector normal ao plano VBC.Assim, uma equação do plano VBC é da forma $5y+2z+d=0$. Como o ponto C, por exemplo, pertence a este plano, então as suas coordenadas têm de verificar a equação anterior. Logo, $5\times 4+2\times 0+d=0\Leftrightarrow d=-20$.
Portanto, uma equação do plano VBC é $5y+2z-20=0$.
Logo, para que $(3\alpha ,\alpha +2,1-\alpha )$ pertença ao plano VBC terá de ser: \[5\times (\alpha +2)+2\times (1-\alpha )-20=0\Leftrightarrow 5\alpha +10+2-2\alpha -20=0\Leftrightarrow \alpha =\frac{8}{3}\]
-
Ora,
\[\begin{array}{*{35}{l}}
\cos (B\hat{V}C) & = & \frac{\overrightarrow{VB}.\overrightarrow{VC}}{\left\| \overrightarrow{VB} \right\|\times \left\| \overrightarrow{VC} \right\|} \\
{} & = & \frac{(2,2,-5).(-2,2,-5)}{\sqrt{4+4+25}\times \sqrt{4+4+25}} \\
{} & = & \frac{-4+4+25}{33} \\
{} & = & \frac{25}{33} \\
\end{array}\]
Logo, a amplitude do ângulo das retas VB e VC é $B\hat{V}C={{\cos }^{-1}}(\frac{25}{33})\simeq 40,7{}^\text{o}$.
-
Seja $M(4,2,0)$ o ponto médio do segmento [AB].
Logo, $\overline{VM}=\sqrt{{{(4-2)}^{2}}+{{0}^{2}}+{{(0-5)}^{2}}}=\sqrt{29}$.
Assim, temos:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
A & = & {{A}_{b}}+4\times {{A}_{[ABV]}} \\
{} & = & 4\times 4+4\times \frac{4\times \sqrt{29}}{2} \\
{} & = & (16+8\sqrt{29})\,c{{m}^{2}} \\
\end{array}\]
