[ABCDEFGH] é um cubo
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 185 Ex. 48
Enunciado
[ABCDEFGH] é um cubo.
Os pontos A, E, F e H têm por coordenadas, respetivamente, $(1,1,3)$, $(1,1,1)$, $(1,3,1)$ e $(-1,1,1)$.
- Calcule as coordenadas dos restantes vértices.
- Escreva uma equação do plano AEC.
- Escreva equações cartesianas das retas BF e EC.
Resolução
-
As coordenadas dos restantes vértices são: $B\,(1,3,3)$, $C\,(-1,3,3)$, $D\,(-1,1,3)$ e $G\,(-1,3,1)$.
- Um vector normal ao plano AEC é, por exemplo, o vetor $\overrightarrow{DB}=(2,2,0)$.
Logo, a equação do plano AEC é da forma $2x+2y+d=0$.Dado que o ponto $A\,(1,1,3)$ pertence a esse plano, as suas coordenadas têm de verificar esta equação. Assim, $2\times 1+2\times 1+d=0\Leftrightarrow d=-4$.
Logo, $x+y-2=0$ é uma equação do plano AEC.
- A reta BF pode ser definida por $x=1\wedge y=3$. (Porquê?)
Quanto à reta EC, sendo $E\,(1,1,1)$ e $\overrightarrow{EC}=(-2,2,2)$, podemos defini-la da seguinte forma:
\[\frac{x-1}{-2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{2}\Leftrightarrow -x+1=y-1=z-1\Leftrightarrow x+y-2=0\wedge y-z=0\]
