Resolva, classifique e interprete geometricamente as soluções dos seguintes sistemas
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 183 Ex. 38
Enunciado Resolva, classifique e interprete geometricamente as soluções dos seguintes sistemas:
- $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+y=0 \\ x+y+z=3 \\ x-z=1 \\ \end{array} \right.$
- $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a-b-c=3 \\ 2a-b+2c=2 \\ a+10b-3c=5 \\ \end{array} \right.$
- $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2a-3b-2c=2 \\ 4a-3b+c=4 \\ 2a+12b-7c=2 \\ \end{array} \right.$
- $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2y+z-x=0 \\ x+y-2z=5 \\ x+\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}z=\frac{15}{2} \\ \end{array} \right.$
- $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 4x-3y+z=4 \\ 2x+3y-2z=2 \\ 2x+12y-7z=2 \\ \end{array} \right.$
- $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+2y-6z=4 \\ 2x-2y+3z=4 \\ x+8y-21z=6 \\ \end{array} \right.$
Resolução
- Resolvendo o sistema, vem:
\[\begin{array}{*{35}{l}} \begin{array}{*{35}{r}} -1\times \\ + \\ {} \\ \end{array}\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+y=0 \\ x+y+z=3 \\ x-z=1 \\ \end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+y=0 \\ z=3 \\ x-z=1 \\ \end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y=-4 \\ z=3 \\ x=4 \\ \end{array} \right. \\ \end{array}\]
O sistema é possível e determinado.
A intersecção dos planos definidos pelas três equações é o ponto de coordenadas $(4,-4,3)$.
- Resolvendo o sistema, vem:
\[\begin{array}{*{35}{l}} \begin{array}{*{35}{r}} -2\times \\ + \\ -2\times \\ \end{array}\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a-b-c=3 \\ 2a-b+2c=2 \\ a+10b-3c=5 \\ \end{array} \right. & \Leftrightarrow & \begin{array}{*{35}{r}} {} \\ -2\times \\ + \\ \end{array}\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a-b-c=3 \\ b+4c=-4 \\ -21b+8c=-8 \\ \end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a-b-c=3 \\ b+4c=-4 \\ -23b=0 \\ \end{array} \right. & \Leftrightarrow \\ {} & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a=2 \\ c=-1 \\ b=0 \\ \end{array} \right. & {} & {} & {} \\ \end{array}\]
O sistema é possível e determinado.
A intersecção dos planos definidos pelas três equações é o ponto de coordenadas $(2,0,-1)$.
- Resolvendo o sistema, vem:
\[\begin{array}{*{35}{l}} \begin{array}{*{35}{r}} -1\times & -2\times \\ {} & + \\ + & {} \\ \end{array}\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2a-3b-2c=2 \\ 4a-3b+c=4 \\ 2a+12b-7c=2 \\ \end{array} \right. & \Leftrightarrow & \begin{array}{*{35}{r}} {} \\ 1\times \\ + \\ \end{array}\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2a-3b-2c=2 \\ 3b+5c=0 \\ 15b-5c=0 \\ \end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2a-3b-2c=2 \\ 3b+5c=0 \\ 18b=0 \\ \end{array} \right. & \Leftrightarrow \\ {} & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a=1 \\ c=0 \\ b=0 \\ \end{array} \right. & {} & {} & {} \\ \end{array}\]
O sistema é possível e determinado.
A intersecção dos planos definidos pelas três equações é o ponto de coordenadas $(1,0,0)$.
- Resolvendo o sistema, vem:
\[\begin{array}{*{35}{l}} \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2y+z-x=0 \\ x+y-2z=5 \\ x+\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}z=\frac{15}{2} \\ \end{array} \right. & \Leftrightarrow & \begin{array}{*{35}{r}} 2\times & 1\times \\ {} & + \\ + & {} \\ \end{array}\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -x+2y+z=0 \\ x+y-2z=5 \\ 2x+3y-z=15 \\ \end{array} \right. & \Leftrightarrow & \begin{array}{*{35}{r}} {} \\ 1\times \\ + \\ \end{array}\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+y-2z=5 \\ 3y-z=5 \\ 7y+z=15 \\ \end{array} \right. & \Leftrightarrow \\ {} & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+y-2z=5 \\ 3y-z=5 \\ 10y=20 \\ \end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=5 \\ z=1 \\ y=2 \\ \end{array} \right. & {} \\ \end{array}\]
O sistema é possível e determinado.
A intersecção dos planos definidos pelas três equações é o ponto de coordenadas $(5,2,1)$.
- Resolvendo o sistema, vem:
\[\begin{array}{*{35}{l}} \begin{array}{*{35}{r}} {} & + \\ -1\times & -2\times \\ + & {} \\ \end{array}\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 4x-3y+z=4 \\ 2x+3y-2z=2 \\ 2x+12y-7z=2 \\ \end{array} \right. & \Leftrightarrow & \begin{array}{*{35}{r}} {} \\ 1\times \\ + \\ \end{array}\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 4x-3y+z=4 \\ -9y+5z=0 \\ 9y-5z=0 \\ \end{array} \right. & \Leftrightarrow & \begin{array}{*{35}{r}} {} \\ 1\times \\ + \\ \end{array}\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 4x-3y+z=4 \\ -9y+5z=0 \\ 0y+0z=0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array}\]
A equação $0y+0z=0$ é possível e indeterminada, o que significa que podemos atribuir a y ou a z um qualquer valor real. Seja $z=k\,,\,\,k\in \mathbb{R}$.
O sistema anterior pode então ser substituído por:
\[\begin{array}{*{35}{l}} \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} z=k \\ -9y+5z=0 \\ 4x-3y+z=4 \\ \end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} z=k \\ y=\frac{5}{9}k \\ x=\frac{4-k+\frac{5}{3}k}{4} \\ \end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} z=k \\ y=\frac{5}{9}k \\ x=1+\frac{1}{6}k \\ \end{array} \right. \\ \end{array}\]
O sistema é possível e indeterminado, pois admite como solução qualquer terno ordenado do tipo $(1+\frac{1}{6}k,\frac{5}{9}k,k)\,,\,\,k\in \mathbb{R}$.
A intersecção dos planos definidos pelas três equações é uma recta, que pode ser definida vectorialmente por: \[(x,y,z)=(1,0,0)+k(\frac{1}{6},\frac{5}{9},1)\,,\,\,k\in \mathbb{R}\]
- Resolvendo o sistema, vem:
\[\begin{array}{*{35}{l}} \begin{array}{*{35}{r}} -1\times & -2\times \\ {} & + \\ + & {} \\ \end{array}\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+2y-6z=4 \\ 2x-2y+3z=4 \\ x+8y-21z=6 \\ \end{array} \right. & \Leftrightarrow & \begin{array}{*{35}{r}} {} \\ 1\times \\ + \\ \end{array}\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+2y-6z=4 \\ -6y+15z=-4 \\ 6y-15z=2 \\ \end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+2y-6z=4 \\ 6y-15z=2 \\ 0y+0z=-2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array}\]
A equação $0y+0z=-2$ é impossível, pelo que o sistema é também impossível.
Logo, o seu conjunto-solução é $S=\left\{ {} \right\}$.
A interseção dos planos definidos pelas três equações é um conjunto vazio.
