O cubo [ABCDEFGH]
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 186 Ex. 49
Enunciado
No referencial o.n. $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ está representado o cubo [ABCDEFGH].
$BF\parallel OZ$ e as coordenadas dos vértices opostos B e H são, respetivamente, $(0,-3,3)$ e $(4,1,-1)$.
- Quais são as coordenadas dos outros vértices do cubo?
- Escreva uma equação da reta DG.
- Determine uma equação da reta que passa por H e é paralela a GB.
- Escreva uma equação do plano que contém a face [ABCD].
- Considere o lugar geométrico definido pelo cubo e escreva uma condição que o caracterize.
- Determine uma equação da superfície esférica circunscrita ao cubo.
Resolução
As coordenadas dos outros vértices do cubo são: $A\,(4,-3,3)$, $C\,(0,1,3)$, $D\,(4,1,3)$, $E\,(4,-3,-1)$, $F\,(0,-3,-1)$ e $G\,(0,1,-1)$.
- Como $\overrightarrow{GD}=(4,0,4)$ é um vetor diretor da reta DG, então $(x,y,z)=(4,1,3)+k(4,0,4)\,,\,\,k\in \mathbb{R}$ é uma equação vetorial dessa reta.
- Como $\overrightarrow{GB}=(0,-4,4)$, então $(x,y,z)=(4,1,-1)+k(0,-4,4)\,,\,\,k\in \mathbb{R}$ é uma equação vetorial da reta pedida.
- O plano que contém a face [ABCD] pode ser definido pela equação $z=3$.
- O cubo pode ser caracterizado pela condição $\begin{matrix}
0\le x\le 4 & \wedge & -3\le y\le 1 & \wedge & -1\le z\le 3 \\
\end{matrix}$.
- O centro dessa superfície esférica é o centro do cubo, o ponto de coordenadas $(2,-1,1)$, e o raio é metade da sua diagonal espacial: $r=\frac{\overline{AG}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$.
Logo, essa superfície esférica pode ser definida pela equação ${{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=12$.
