Equações cartesianas de duas rectas
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 184 Ex. 41
Seja um referencial ortonormado $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.
Dados os pontos $A\,(2,3,-1)$ e $B\,(2,-1,4)$ e o vetor $\vec{u}\,(1,4,-2)$ , determine:
- uma equação vetorial da reta que passa em A e é paralela a ${\vec{u}}$ ;
- equações cartesianas da reta que passa em A e tem a direção de ${\vec{u}}$ ;
- equações cartesianas da reta AB.
- Como $\vec{u}\,(1,4,-2)$ é um vetor diretor da reta pedida, então $(x,y,z)=(2,3,-1)+k(1,4,-2)\,,\,\,k\in \mathbb{R}$ é uma sua equação vetorial.
- Da equação vetorial da reta da alínea anterior, vem:
\[\begin{matrix}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=2+k \\
y=3+4k \\
z=-1-2k \\
\end{array},\,k\in \mathbb{R} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
k=x-2 \\
k=\frac{y-3}{4} \\
k=\frac{z+1}{-2} \\
\end{array},\,k\in \mathbb{R} \right. & \Leftrightarrow & x-2=\frac{y-3}{4}=\frac{z+1}{-2} \\
\end{matrix}\]Logo, \[x-2=\frac{y-3}{4}=\frac{z+1}{-2}\]
quer \[4x-y=5\wedge 2x+z=3\]
são equações cartesianas da reta pedida.Note que:
\[x-2=\frac{y-3}{4}=\frac{z+1}{-2}\Leftrightarrow 4(x-2)=y-3\wedge -2(x-2)=z+1\Leftrightarrow 4x-y=5\wedge 2x+z=3\]
- Como $\overrightarrow{AB}=(2,-1,4)-(2,3,-1)=(0,-4,5)$, então $(x,y,z)=(2,3,-1)+k(0,-4,5)\,,\,\,k\in \mathbb{R}$ é uma equação vetorial da recta AB.
De forma análoga, temos:
\[\begin{matrix}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=2+0k \\
y=3-4k \\
z=-1+5k \\
\end{array},\,k\in \mathbb{R} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=2 \\
k=\frac{y-3}{-4} \\
k=\frac{z+1}{5} \\
\end{array},\,k\in \mathbb{R} \right. & \Leftrightarrow & x=2\wedge \frac{y-3}{-4}=\frac{z+1}{5} \\
\end{matrix}\]
Logo, \[x=2\wedge \frac{y-3}{-4}=\frac{z+1}{5}\] são equações cartesianas da reta AB.
