Uma pirâmide quadrangular regular
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 184 Ex. 42
Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular.
A base da pirâmide está contida no plano de equação $z=4$.
- O vértice A pertence ao eixo Oz.
- O vértice B pertence ao plano yOz.
- O vértice D pertence ao plano xOz.
- O vértice C tem coordenadas $(4,4,4)$.
- A altura da pirâmide é 6.
- Mostre que uma condição que define a reta DE é $x-4=-y=\frac{z-4}{3}$.
- Determine uma equação do plano que passa no ponto B e é perpendicular à reta DE.
- Determine a área da secção produzida na pirâmide pelo plano xOy.
- Como $D\,(4,0,4)$ e $E\,(2,2,-2)$, então o vetor $\overrightarrow{DE}=(-2,2,-6)$ é diretor da reta DE.
Uma equação vetorial da reta DE é $(x,y,z)=(4,0,4)+k(-2,2,-6)\,,\,\,k\in \mathbb{R}$, donde se obtém:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=4-2k \\
y=0+2k \\
z=4-6k \\
\end{array}\,,\,\,k\in \mathbb{R} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
k=\frac{x-4}{-2} \\
k=\frac{y}{2} \\
k=\frac{z-4}{-6} \\
\end{array}\,,\,\,k\in \mathbb{R} \right. & \Leftrightarrow & \frac{x-4}{-2}=\frac{y}{2}=\frac{z-4}{-6} & \Leftrightarrow \\
{} & \Leftrightarrow & \frac{x-4}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z-4}{-3} & \Leftrightarrow & x-4=-y=\frac{z-4}{3} & {} \\
\end{array}\]
Portanto, $x-4=-y=\frac{z-4}{3}$ é uma condição que define a reta DE.
Alternativa:
Basta mostrar que as coordenadas dos pontos D e E verificam a condição apresentada:
$4-4=-0=\frac{4-4}{3}$ é uma proposição verdadeira;
$2-4=-2=\frac{-2-4}{3}$ é também uma proposição verdadeira.
- Um vetor normal ao plano pedido é $\overrightarrow{DE}=(-2,2,-6)$.
Um ponto do plano é $B\,(0,4,4)$.Designando $P\,(x,y,z)$ um ponto genérico do plano pedido, será $\overrightarrow{BP}.\overrightarrow{DE}=0$, pois $\overrightarrow{BP}\bot \overrightarrow{DE}$.
Assim, vem: \[\begin{array}{*{35}{l}}
\overrightarrow{BP}.\overrightarrow{DE}=0 & \Leftrightarrow & (x,y-4,z-4).(-2,2,-6)=0 \\
{} & \Leftrightarrow & -2x+2y-8-6z+24=0 \\
{} & \Leftrightarrow & x-y+3z-8=0 \\
\end{array}\]
Portanto, $x-y+3z-8=0$ é uma equação do plano pedido.
- A secção produzida na pirâmide pelo plano xOy é um quadrado semelhante à base da pirâmide, com razão de semelhança $r=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
Portanto, a área da secção é: \[A={{A}_{[ABCD]}}\times {{(\frac{1}{3})}^{2}}=16\times \frac{1}{9}=\frac{16}{9}\]
