Dados três pontos

Sejam $A\,(2,0,0,)$, $B\,(-4,0,0)$ e $C\,(0,6,0)$ três pontos dados pelas suas coordenadas num referencial ortonormado.

1. Os pontos médios dos segmentos considerados são:
   \[\begin{array}{*{20}{l}}{{M_{[AB]}} = ( – 1,0,0)}&,&{{M_{[BC]}} = ( – 2,3,0)}&e&{{M_{[CA]}} = (1,3,0)}\end{array}\]
   Designado por $P\,(x,y,z)$ um ponto genérico do plano mediador de [AB], ter-se-á $\overrightarrow{{{M}_{[AB]}}P}.\overrightarrow{AB}=0$.
   (Verifique geometricamente, através de um desenho)

   Assim, vem:
   \[\begin{array}{*{35}{l}}
   \overrightarrow{{{M}_{[AB]}}P}.\overrightarrow{AB}=0 & \Leftrightarrow  & (x+1,y,z).(-6,0,0)=0  \\
   {} & \Leftrightarrow  & -6x-6=0  \\
   {} & \Leftrightarrow  & x=-1  \\
   \end{array}\]
   Portanto, $x=-1$ é uma equação do plano mediador de [AB].

   De modo semelhante, temos:

   \[\begin{array}{*{35}{l}}
   \overrightarrow{{{M}_{[BC]}}P}.\overrightarrow{BC}=0 & \Leftrightarrow  & (x+2,y-3,z).(4,6,0)=0  \\
   {} & \Leftrightarrow  & 4x+8+6y-18=0  \\
   {} & \Leftrightarrow  & 2x+3y-5=0  \\
   \end{array}\]
   Portanto, $2x+3y-5=0$ é uma equação do plano mediador de [BC].

   \[\begin{array}{*{35}{l}}
   \overrightarrow{{{M}_{[CA]}}P}.\overrightarrow{CA}=0 & \Leftrightarrow  & (x-1,y-3,z).(2,-6,0)=0  \\
   {} & \Leftrightarrow  & 2x-2-6y+18=0  \\
   {} & \Leftrightarrow  & x-3y+8=0  \\
   \end{array}\]
   Portanto, $x-3y+8=0$ é uma equação do plano mediador de [CA].
   ­

2. Designemos, pela ordem acima indicada, os planos por $\alpha $, $\beta $ e $\gamma $.

   Os vetores $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}(1,0,0)$, $\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}(2,3,0)$ e $\overrightarrow{{{n}_{\gamma }}}(1,-3,0)$ são, respetivamente, vetores normais a estes planos.

   Como os vetores  $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}(1,0,0)$ e $\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}(2,3,0)$ são oblíquos, então os respectivos planos são também oblíquos. Determinemos uma equação da reta de intersecção destes planos:
   \[\begin{array}{*{35}{l}}
   \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
   x=-1  \\
   2x+3y-5=0  \\
   \end{array} \right. & \Leftrightarrow  & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
   x=-1  \\
   y=\frac{7}{3}  \\
   \end{array} \right.  \\
   \end{array}\]
   Portanto, $x=-1\wedge y=\frac{7}{3}$ é uma equação da reta de intersecção dos planos $\alpha $ e $\beta $.

   Dois pontos desta reta são, por exemplo, $S\,(-1,\frac{7}{3},0)$ e $T\,(-1,\frac{7}{3},1)$.

   Confirmemos, seguidamente, que as coordenadas destes pontos verificam a equação do plano  ${\gamma }$.

   Ora, $-1-3\times \frac{7}{3}+8=0\Leftrightarrow -8+8=0$ é uma proposição verdadeira.
   Logo, os pontos S e T pertencem ao plano  ${\gamma }$.

   Sendo assim, a reta de intersecção dos planos  $\alpha $ e $\beta $ é uma reta contida no plano ${\gamma }$.

   Consequentemente, os três planos têm uma reta em comum, de equação $x=-1\wedge y=\frac{7}{3}$.
   ­

3. O ponto pedido pode ser obtido pela relação $D=C+\overrightarrow{BA}$. (Porquê?)
   Logo, $D=(0,6,0)+(6,0,0)=(6,6,0)$.