Um ponto e três planos
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 185 Ex. 46
Considere o ponto $A\,(2,3,1)$ e os planos de equações:
- $\alpha $: $x+y+z=2$
- $\beta $: $x-2y+2z+3=0$
- $\gamma $: $2x-3y-4z=0$
- Verifique se $A\in \beta $.
- Determine uma equação da reta perpendicular a $\alpha $ e que passa por A.
- Determine a intersecção dos três planos.
- As coordenadas de A não verificam a equação do plano $\beta $:
$$2-2\times 3+2\times 1+3=0\Leftrightarrow 2-6+2+3=0\Leftrightarrow 1=0$$Logo, $A\notin \beta $.
- Um vector normal ao plano $\alpha $ é $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}(1,1,1)$, que será, então, diretor da reta pedida.
Logo, uma equação vetorial da reta pedida é:
$$(x,y,z)=(2,3,1)+k(1,1,1)\,,\,\,k\in \mathbb{R}$$
-
Resolvendo o sistema de equações dos planos dados, temos:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
\begin{array}{*{35}{r}}
{} & (-1\times ) \\
(-2\times ) & (+) \\
(+) & {} \\
\end{array}\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x+y+z=2 \\
x-2y+2z=-3 \\
2x-3y-4z=0 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \begin{array}{*{35}{r}}
{} \\
+ \\
(3\times ) \\
\end{array}\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x+y+z=2 \\
-3y+z=-5 \\
y-8z=6 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x+y+z=2 \\
-3y+z=-5 \\
-23z=13 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow \\
{} & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=-y+\frac{13}{23}+2 \\
y=\frac{z+5}{3} \\
z=-\frac{13}{23} \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=\frac{25}{23} \\
y=\frac{34}{23} \\
z=-\frac{13}{23} \\
\end{array} \right. & {} \\
\end{array}\]
A intersecção dos três planos é o ponto de coordenadas $(\frac{25}{23},\frac{34}{23},-\frac{13}{23})$.
