Três pontos: A, B e C
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 186 Ex. 51
Enunciado
Considere, num referencial o.n. Oxyz, os pontos $A\,(-6,6,0)$, $B\,(-2,10,0)$ e $C\,(0,0,8)$.
- Determine uma equação cartesiana do plano $\alpha $ definido por A, B e C.
- Escreva equações cartesianas da reta de intersecção do plano $\alpha $ com o plano coordenado xOz.
- Prove que $\overrightarrow{OA}$ é perpendicular a $\overrightarrow{AB}$ e determine as coordenadas do ponto D de modo que [OABD] seja um retângulo.
- [OABD] é a base inferior e C um vértice da base superior do paralelepípedo retângulo [OABDCEFG].
Determine as coordenadas dos outros vértices do sólido referido.
Resolução
- Comecemos por determinar um vetor normal ao plano definido pelos pontos A, B e C, isto é, um vetor $\vec{n}=(a,b,c)$ perpendicular aos vetores $\overrightarrow{AB}=(4,4,0)$ e $\overrightarrow{AC}=(6,-6,8)$.
Ora,
\[\begin{array}{*{35}{l}}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\vec{n}.\overrightarrow{AB}=0 \\
\vec{n}.\overrightarrow{AC}=0 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
(a,b,c).(4,4,0)=0 \\
(a,b,c).(6,-6,8)=0 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
4a+4b=0 \\
6a-6b+8c=0 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow \\
{} & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
b=-a \\
6a+6a+8c=0 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
b=-a \\
c=-\frac{3}{2}a \\
\end{array} \right. & {} \\
\end{array}\]
Logo, um vector normal a $\alpha $ é, por exemplo, ${{{\vec{n}}}_{1}}=(2,-2,-3)$.Assim, a equação pedida é da forma $2x-2y-3z+d=0$. Como o ponto C pertence a esse plano, vem $2\times 0-2\times 0-3\times 8+d=0\Leftrightarrow d=24$.
Logo, $2x-2y-3z+24=0$ é uma equação do plano $\alpha $.
- O plano xOz pode ser definido por $y=0$.
Logo, temos $2x-2y-3z+24=0\wedge y=0\Leftrightarrow 2x-3z+24=0\wedge y=0$.
Pelo que $2x-3z+24=0\wedge y=0$ podem constituir as equações pedidas.
- Como $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AB}=(-6,6,0).(4,4,0)=-24+24+0=0$, então os vetores considerados são perpendiculares.
O ponto D tem de satisfazer a condição $D=O+\overrightarrow{AB}$.
Logo, $D=(0,0,0)+(4,4,0)=(4,4,0)$.
- Os pontos O, A, B e D pertencem ao plano xOy.
Logo, o ponto $C\,(0,0,8)$ apenas pode ser extremo da aresta lateral [OC].
Assim, vem: $E\,(-6,6,8)$, $F\,(-2,10,8)$ e $G\,(4,4,8)$.
